D ep a rta m en to de In g en ierıa M a tem a tica

FACULTAD DE CIENCIAS
FÍSICAS Y MATEMÁTICAS
UNIVERSIDAD DE CHILE
Introducción al Álgebra 08-1
Guı́a de Problemas
Departamento de Ingenierı́a Matemática - Universidad de Chile
Ingenierı́a Matemática
La presente guı́a le permitirá tener una idea bastante precisa del tipo de problemas que
debe ser capaz de resolver en una evaluación y el tiempo promedio que deberı́a demorar en
resolverlos. En total deberı́a poder resolverla en 3 horas. Le recomendamos que trabaje en
ella una hora antes de la clase de trabajo dirigido, que resuelva sus dudas en la clase de
trabajo dirigido y que luego dedique una hora a escribir con detalles las soluciones.
P1. (20 min.) Sean f, g :
R → R funciones. Determine explı́citamente f y g sabiendo que
g◦f =
3x + 2
9x2 + 12x + 5
f −1 (x) =
x−2
3
P2. Sean f, g : A → A funciones. Probar que si g es biyectiva entonces se tiene que
(a) (15 min.) f es inyectiva ⇔ f ◦ g es inyectiva
(b) (15 min.) f es sobreyectiva ⇔ g ◦ f es sobreyectiva
P3. Sea A = {0, 1, 2, 3} y T : A → A la función definida por T (0) = 1, T (1) = 2, T (2) =
3, T (3) = 0. Sea I = {h : A → /h es función y h(0) + h(1) + h(2) + h(3) = 0}.
Dada una función f : A →
definimos la función f¯ : A →
en cada n ∈ A por
f¯(n) = f ◦ T (n) − f (n).
R
R
(a) (20 min.) Probar que si f : A →
entonces f¯ ∈ I
R
R es una función de dominio A y recorrido R
R
(b) (40 min.) Sea D = {h : A → /h es función y h(0) = 0}. Definimos ∆ : D → I en
cada f ∈ D por ∆(f ) = f¯. Probar que ∆ es biyectiva y calcular ∆−1 .
P4. Sea F = {h : E → E/h es biyectiva } y f ∈ (F )
(a) (5 min.) Pruebe que para todo h ∈ F, h ◦ f ∈ F
(b) (25 min.) Sea ϕf : (F ) → (F ) tal que ϕf (h) = h ◦ f . Pruebe que ϕf es biyección.
R
R
→ /f es biyectiva}. Es decir, E contiene a todas las
P5. (15 min.) Sea E = {f :
funciones biyectivas de
en . Se define la funcion ξ : E → E tal que para cada
f ∈ E, ξ(f ) = f −1 , es decir ξ le asocia a cada función en E su inversa. Sean f, g ∈ E.
Probar que ξ(f ◦ g) = ξ(g) ◦ ξ(f ).
R
R
N
Q
N
P6. (10 min.) Considere las funciones f : \ {0} →
definida en cada n ∈ \ {0} por
1
y g : → definida en cada q ∈ por g(q) = 2q . Determine los conjuntos
f (n) = 2n
preimagenes g −1 ( ) y (g ◦ f )−1 ( )
Q Q
Z
Z
63
Q
f (A) △ f (B) ⊆ f (A △ B)
Muestre ademas que si f es inyectiva, entonces
f (A) △ f (B) = f (A △ B)
P8. (20 min.) Sea f : E → F una función y A, B ⊆ E. Pruebe que
f (B)\f (A) = φ ⇒ f (A ∪ B) = f (A)
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Departamento de Ingenierı́a Matemática - Universidad de Chile
P7. (30 min.) Sea f : X → Y una función. Pruebe que ∀A, B ⊆ X