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FACULTAD DE CIENCIAS
FÍSICAS Y MATEMÁTICAS
UNIVERSIDAD DE CHILE
Introducción al Álgebra 08-1
Guı́a de Problemas
Departamento de Ingenierı́a Matemática - Universidad de Chile
Ingenierı́a Matemática
P1. (30 min.) Sea (G, ∗) un grupo y f : G → G la función definida por f (g) = g −1 para
cada g ∈ G (recordar que g −1 es el inverso de g para la operación ∗). Probar que
f es un isomorfismo ⇔ G es un grupo Abeliano.
P2. Sea (G, ∗) un grupo con neutro e ∈ G y
A = {F : G → G / F es un isomorfismo de (G, ∗) en (G, ∗)}.
(a) (20 min.) Probar que (A, ◦) es un grupo
(b) (20 min.) Para cada g ∈ G se define la función Fg : G → G tal que Fg (x) = g∗x∗g −1
en cada x ∈ G. Pruebe que:
Fg es un homomorfismo de (G, ∗) en (G, ∗).
Fg∗h = Fg ◦ Fh , para todo g, h ∈ G.
Fe = idG (idG es la función identidad en G).
Concluya que Fg es un isomorfismo y que (Fg )−1 = Fg−1 para todo g ∈ G.
(c) (20 min.) Pruebe que B = {Fg / g ∈ G} es un subgrupo de (A, ◦).
P3. (20 min.) Sea (G, ∗) un grupo que satisface la propiedad a ∗ a = e (el neutro del grupo)
en cada a ∈ G, es decir, el inverso de cada elemento del grupo es el mismo elemento.
Pruebe que G es un grupo Abeliano. (Ind: calcule (a ∗ b) ∗ (b ∗ a)).
P4. (20 min.) Sea (G, ∗) un grupo tal que G = {e, a, b} con e neutro en G. Pruebe que
a−1 = b.
P5. Sean (G, ∗) y (H, ◦), grupos con neutros eG y eH respectivamente. Se define en G × H
la ley de composición interna △ por:
(a, b) △ (c, d) = (a ∗ c, b ◦ d)
(a) (20 min.) Demuestre que (G × H, △) es grupo.
(b) (20 min.) Demuestre que las funciones ϕ y ψ definidas por
ϕ:
G × H −→ G
(g, h) 7−→ ϕ((g, h)) = g
y,
ψ:
G × H −→ H
(g, h) 7−→ ψ((g, h)) = h
son homomorfismos sobreyectivos.
(c) (20 min.) Considere G = H y ∗ = ◦ y la función f : G × G → G definida por
f ((a, b)) = (a ∗ b)−1
Pruebe que
∀(a, b) ∈ G × G
f es un homomorfismo de (G × G, △) en (G, ∗) ⇔ El grupo (G, ∗) es abeliano.
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