4guia complejos -forma binomial

Es otra forma de notación de un numero complejo, de esta manera se simplifica
la operatoria en forma canónica, pues se opera en términos del algebra común.
En general (a,b) = a+bi, donde a: corresponde a la parte real y b corresponde a la
parte imaginaria.
Todos los demás parámetros permanecen inalterables como asimismo las
propiedades, las propiedades métricas y la representación grafica. Esto es:
FORMA CANONICA: (a,b) , a: parte real y b es la parte imaginaria
NUMERO REAL (a,0).
IMAGINARIO PURO: (0,b).
Un complejo esta compuesto por una parte real y una imaginaria .Esto es
NUMERO COMPLEJO: (a,0)+(0,b).
Representación grafica:
Modulo: de Z=(a,b) : Z = a 2 + b 2 .
Dirección de Z: como ϕ = arctan
b
a
Conjugado de Z(a,b) : Z =(a,-b)
Se verifican de igual forma las propiedades las propiedades:
ADICION
cerrada
Tiene elemento neutro
Tiene opuesto
Es conmutativa
Es asociativa
PRODUCTO
Cerrada
Tiene elemento neutro
Tiene inverso
Es conmutativa
Es asociativa
Ya sabemos que la multiplicación es distributiva con respecto a la adición.
En consecuencia: El conjunto de los números complejos (C,+, × ) provisto de estas
dos operaciones verifica todas las propiedades anteriormente expuestas, se dice
que posee la estructura de un CAMPO ALGEBRAICO.
EJERCICIOS:
1.- 1.- Considere los complejos: Z=a+bi , Z’=c+di y Z’’=e+fi. Demuestre operando en
forma canónica que:
1.1.- Z+Z’=Z’+Z
1.2.- ZxZ’=Z’xZ
1.3.- (Z+Z’)+Z’’=Z+(Z’+Z’’)
1.4.- (ZxZ’)xZ’’=Zx(Z’xZ’’)
1.5.- Pruebe que el neutro aditivo es Zo=0+0i
1.6- Pruebe que el opuesto aditivo de Z es :-a-bi
1.7.-Pruebe que el neutro multiplicativo es :1+0i
a
− bi
1.6.- Pruebe que el inverso multiplicativo de Z es : Z −1 2
+ 2
2
a +b
a + b2
2.- Pruebe las siguientes propiedades métricas de los números complejos:
2.1.- El modulo de un producto de dos complejos equivale al producto de los módulos
de los mismos.
2.2.- Pruebe si se verifica la aseveración anterior con respecto al cuociente.
2.3.- Pruebe que: ( ZxZ ' ) = Z x Z '
Z Z
2.4.- Pruebe que:   =
 Z' Z'
2.5.- Pruebe que: Z = 0 ⇔ Z = 0
2.6.- Pruebe que : Zx Z = Z
2
2.7.-Pruebe que : Z+ Z = doble de la parte real de Z
2.8.- Pruebe que: Z- Z = doble de la parte imaginaria de Z.
2.9.- Pruebe que: Z + Z ' = Z + Z '
2.10.- Pruebe que: la parte real de ( Z x Z ' ) < Z x Z '
2.11.- Pruebe que: Z + Z ' < Z + Z '
2.12.- Pruebe que: Z − Z ' < Z − Z '
3.- Determine, desarrollando en forma binomial:
1 + 2i 5 − 3i 2 − i
3.1. +
3
4
2
3.2.-. - Si z= 3 + 2 i , determine: z+ z ,z 2 , z ,z −1 , z * z −1 ,z: z
3.3. - (3-i) (4-2i) + (2-2i) (5-I) + (2-i) 2
−1
3.4.-(3-2i) (3+2i) + (2-3i) (3+2i)-(2+i) 2
3.5. - (2+3i) 3
3.6. - (2-i) 3 + (1+i) 4 -(1-i) 2
3.7. - (6-4i) 2 -(3+8i) (3-8i)
3.8. - (2+i) 2 + (2+i) 3 -(2+i) 4
 2 + 3i 
3.9. - 
2 
1− i 
3.10. -
3.11. -
2
2
4
+3i1− i
i −1
3.12.
5 + 4i − 3 + i
3 − 2i 1 + 4i
3+i
i
+
i
1+ i
3.13.-
3.15.
4
3
1
+
2 − i 5 + 2i 1 − i
3.14.- z (3+2i) 2 -zi = (2-3i) (3-2i)
1 − i  2  i − 1 
3.16.- 

 *
1 + 1   i + 1 
2
4
1
+
1− i 2 − i 1+ i
1 + i   i − 2 
3.17.- 
*

3 − i  i + 3
3.17.-
− 4 + 5i 3 − 5i
*
3i
2i
4.- Calcule las potencias de los complejos:
3.18.-
4.1.- i 15 + 45 -i 58 -3i 142
2
1
2
1
+
2
2
(i + 1) (1 − i ) (i − 1) 2
 2 + 7i   4 + i 
3.19.- 
*

 3 − i  1+ i 
4.2.- 2i 39 +3i 78 -3i 345 -i 673
4.3.- (i 11 +i 50 ) 3 + (i 46 +i 106 ) 12
5.- resuelva para que valor del complejo Z se verifica la igualdad: 2z+3i=z+ (2-i) 2
17. – Determine el valor del complejo Z, para el que se verifica la igualdad:
5
2
+z=
-(1-i)
1− i
3+i
18.- Determine el valor de x e y en las siguientes igualdades:
18.1.- 2x+3y = 4-4i
18.2.- 4x+y)+(x-y) i=2i
18.3.- (x-3i)-(4+yi)=0
18.4.- (x+yi)(5+2i)=10
18.5.- (x+yi)(4-5i)=3-2i
18.6.- -4+(x+y)i=2x-5y+5i
19. - Calcule:
19.1.- 5(1-i 3 )
19.2.-
2
1 + 3i
3 7
19.3.- i 2 ( + i )
4 9
20.3.- Z
20.4.- Z −1
20.- Si Z= 3 +i 2 .Calcule:
20.1.- Z+ Z
20.6.- Z × Z −1
20.2.- Z 2
20.7.- Z: Z
−1
20.5.- Z × Z
−1