guia de complejos en forma canonica

Bienvenidos al maravilloso mundo de los números complejos.
.TEMA : NUMEROS COMPLEJOS EN FORMA CANONICA.
CONCEPTOS PREVIOS.
FORMA CANONICA: (a,b) , a :parte real y b es la parte imaginaria
NUMERO REAL (a,0).
IMAGINARIO PURO: (0,b).
Un complejo esta compuesto por una parte real y una imaginaria .Esto es
NUMERO COMPLEJO: (a,0)+(0,b).
Representación grafica:
Se define el modulo: de Z=(a,b) como: Z = a 2 + b 2 .
b
a
Se define el conjugado de Z(a,b) como Z =(a,-b)
SE DEFINEN LAS OPRACIONES FUNDAMENTALES DE LOS
COMPLEJOS EN FORMA CANONICA :
ADICION:(a,b)+(c,d)=(a+b,c+d).
PRODUCTO :(a,b) × (c,d)=(ac-bd,ad+bc).
Estas dos operaciones así definidas verifican las siguientes propiedades:
ADICION
PRODUCTO
cerrada
Cerrada
Tiene elemento neutro
Tiene elemento neutro
Tiene opuesto
Tiene inverso
Es conmutativa
Es conmutativa
Es asociativa
Es asociativa
Se define la dirección como ϕ = arctan
Además la multiplicación así definida es distributiva con respecto a la adición.
En consecuencia: El conjunto de los números complejos (C,+, × ) provisto de estas dos
operaciones verifica todas las propiedades anteriormente expuestas, se dice que posee
la estructura de un CAMPO ALGEBRAICO.
Ejercicios de aplicación.
1.- Considere los complejos : Z=(a,b) , Z’=(c,d) y Z’’=(e,f).Demuestre que :
1.1.- Z+Z’=Z’+Z
1.2.- ZxZ’=Z’xZ
1.3.- (Z+Z’)+Z’’=Z+(Z’+Z’’)
1.4.- (ZxZ’)xZ’’=Zx(Z’xZ’’)
1.5.- Pruebe que el neutro aditivo es Zo=(0,0)
1.6- Pruebe que el opuesto aditivo de Z es (-a,-b)
1.7.-Pruebe que el neutro multiplicativo es (1,0)
b 
 a
1.6.- Pruebe que el inverso multiplicativo de Z es : Z −1  2
,− 2

2
a + b2 
a +b
2.- Pruebe las siguientes propiedades métricas de los números complejos:
2.1.- El modulo de un producto de dos complejos equivale al producto de los módulos
de los mismos.
2.2.- Pruebe si se verifica la aseveración anterior con respecto al cuociente.
2.3.- Pruebe que : ( ZxZ ' ) = Z x Z '
Z Z
2.4.- Pruebe que :   =
 Z' Z'
2.5.- Pruebe que : Z = 0 ⇔ Z = 0
2.6.- Pruebe que : Zx Z = Z
2
2.7.-Pruebe que : Z+ Z = doble de la parte real de Z
2.8.- Pruebe que : : Z- Z = doble de la parte imaginaria de Z.
2.9.- Pruebe que : Z + Z ' = Z + Z '
2.10.- Pruebe que : la parte real de ( Z x Z ' )< Z x Z '
2.11.- Pruebe que : Z + Z ' < Z + Z '
2.12.- Pruebe que : Z − Z ' < Z − Z '
3.- Dados Z=(-3,4) , Z’=(12,-5) , Z’’=(2,0)
Z’’’=(-2,0).Calcule en forma
canónica:
3.1.-2Z+3Z’-4(Z’’’-3Z’’’)
3.2.- 4(Z’-2Z’’)-3((Z’-Z’’’’)(Z’+Z’’’’)
3.3- Z + Z ' ' + Z ' ' ' + Z ' ' ' '
3.4.- Z + Z '+ Z ' '+ Z ' ' '+ Z ' ' ' '
3.5.- 2(Z+Z’)-Z’xZ’’’
3.6.- Z’’’xZ’’+ Z (2Z+Z’’xZ’’’’)
3.7.- Z + Z '+2 Z ' ' '
1
2
3
+
−
Z Z '' Z '''
Z '+2 Z ' ' Z + Z ' ' ' '
3.10.−
Z ''''
2Z − Z '
3.9.-
Z ' Z ' ' '+ Z
+
Z
Z
3.8.-