Auxiliar 3 - U

Universidad de Chile
Facultad de Ciencias Físicas y Matemáticas
Departamento de Ingeniería Matemática
Profesor Héctor Olivero Q.
Auxs: Sergio Araneda & Victor Verdugo
Semestre de Otoño 2011
MA2002-3: CÁLCULO AVANZADO Y APLICACIONES
CLASE AUXILIAR 3: TEOREMA DE GAUSS, TEOREMA DE STOKES Y
FÓRMULAS DE GREEN
1. En lo que sigue denotemos Ω = {(x, y, z) ∈ R3 : x2 + y 2 6= 0}.
a) Sea F~ : Ω → R3 el campo vectorial dado por F~ = ρ1 ρ̂ + ρk̂ (coordenadas cilíndricas). Sea
S la porción del casquete esférico x2 + y 2 + z 2 = a2 que se encuentra fuera del cilindro
2
x2 + y 2 ≤ a4 . Bosqueje S y calcule el flujo de F~ a través de la superficie S orientada
según la normal exterior.
b) Sea F~ : Ω → R3 el campo vectorial dado por F~ = cos(ϕ)θ̂ (coordenadas esféricas).
Utilice el Teorema de Stokes para calcular el trabajo de F~ a lo largo de la curva que
resulta de intersectar el casquete esférico x2 + y 2 + z 2 = 2 con el plano x = 1. Haga un
bosquejo indicando la orientación de la curva y de la normal escogida.
2. Sean Ω ⊂ Ω0 dos abiertos acotados en R3 . Suponga que ∂Ω es una superficie regular por
pedazos y sea u ∈ C 2 (Ω, R) tal que
∆u = f
∇u · n̂ = g
en Ω
sobre ∂Ω
donde f, g ∈ C(Ω0 , R) y n̂ es la normal exterior a Ω. Pruebe que para todo v ∈ C 1 (Ω, R)
ZZZ
ZZ
ZZZ
∇u · ∇vdV =
vgdA −
vf dV
Ω
∂Ω
Ω
Muestre que si f (x, y, z) = 1/x y g ≡ 0 entonces
ZZZ
∂u
dV = −Vol(Ω),
Ω ∂x
donde en este caso Ω no intersecta al plano Y Z (de ecuación x = 0).
3. Sea D ⊂ R2 una región abierta acotada del plano y con ∂D regular por pedazos. Sea
u : D ∪ ∂D → R, con u ∈ C 2 (D) y ~a ∈ D un punto tal que Bρ = B(a, ρ) ⊂ D, para todo
0 < ρ ≤ R. Se define:
Z
1
uds
I(ρ) =
ρ ∂Bρ
a) Pruebe que lı́m I(ρ) = 2πu(a).
ρ→0
1
b) Sea n̂ la normal exterior a ∂Bρ . Pruebe que:
Z
ZZ
∇u · n̂ds =
∆udA
∂Bρ
1
c) Pruebe que I (ρ) =
ρ
0
Bρ
ZZ
∆udA.
Bρ
d) Suponga que u satisface la ecuación de Laplace en D, es decir, ∆uD ≡ 0. Pruebe que:
Z
1
u(a) =
uds
2πR ∂BR
e) Bajo el mismo supuesto de la parte anterior, pruebe que:
ZZ
1
udA
u(a) =
πR2
BR
4. Sea ~r = (x, y, z), r = k~rk y la superficie Σ = ∂{~r ∈ R3 : a ≤ r ≤ b} orientada hacia el
exterior. Sean F~ : R3 → R3 y f : R → R ambas de clase C 1 tales que:
F~ (~r) = f (r2 )~r
d
a) Verificar que r2 div F~ = (r3 f (r2 )).
dr
ZZ
~ = 4π(b3 f (b2 ) − a3 f (a2 )).
b) Concluya que
F~ · dS
Σ
c) Con la misma notación, sea C una curva de extremos O = (0, 0, 0) y A = (0, 0, a), regular
por pedazos, recorrida desde O hasta A. Verificar que:
Z
Z √a
1
F~ · d~r =
f (t)dt
2 0
C
2