guia para el examen ma34-a - U

GUIA PARA EL EXAMEN MA34-A
Profesor: Servet Martínez
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Suponga que se realiza
resultados posibles,
A
y
B.
Auxiliares: Andrés Fielbaum, Tomas Spencer
n
veces el mismo experimento que tiene sólo dos
Suponga que el resultado de cada experimento es
independiente del resultado en los demás. Suponga que, en cada experimento, la
probabilidad de que ocurra
A es p, con 0<p<1. Denamos Cn = |{i = 1, ..., n :
A}|, es decir, los casos favorables hasta el
el resultado del evento i-ésimo fue
i-ésimo experimento. Pruebe que
limn→∞ Cnn = p.
Hint: Para cada i ∈ N, dena la variable aleatoria Xi , dada por Xi = 1 si
el resultado del i-ésimo experimento fue A, Xi = 0 si el resultado del i-ésimo
experimento fue B.
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i)
Sea
X
v.a.
absolutamente continua, tal que su función de distribución
FX (x) = P({X < x})
es estrictamente creciente.
se distribuye como una v.a.
Y = FX (X)
(0, 1). Hint: Note que
Demuestre que
uniforme en el intervalo
F x : R → (0, 1) biyectiva (la inyectividad se garantiza por ser estrictamente
creciente), y con inversa creciente.
ii) Sean X, Y variables aleatorias. Pruebe que la función de distribución de
X está dada por FX (x) = P({X ≤ x|Y ≤ x})·P({Y ≤ x})+P({X ≤ x, Y > x}).
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Sea
T
T
una variable aleatoria absolutamente continua. Pruebe que:
⇐⇒P({T > t + s|T > s}) = P({T > t})
∀t, s ∈ [0, ∞).
sigue una distribución exponencial
Hint: Para la implicancia ⇐, utilice el siguiente resultado del análisis real:
Si g : [0, ∞) → [0, ∞), es una función continua, decreciente, no idénticamente
cero y que cumple g(t + s) = g(t)g(s) ∀t, s ∈ [0, ∞), entonces necesariamente
g(t) = e−λt , para algún λ > 0.
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i) Sea X
una variable aleatoria, tal que
generadora de momentos
ii)
Calcule su función
Demuestre, usando funciones generadores de momentos, que si
tal que
iii)
X ∼ P oisson(λ).
GX (t).
Y ∼ P oisson(µ),
Y
Z = X + Y ∼ P oisson(λ + µ)
de probabilidad condicional pX|Z (k|n)
v.a. es
entonces
Pruebe que la densidad
sponde a la de una binomial, y encuentre sus parámetros.
1
corre-
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Sea
(X, Y )
vector aleatoria con función de densidad conjunta dada por:
(
x + 2y
fX,Y (x, y) =
0
si 0 < x < 1, 0 < y < a
∼
i) Encuentre el valor de a
ii) Encuentre las densidades marginales fX (x), fY (y)
iii) Encuentre fX|Y (x|y), fY |X (y|x)
iv) Encuentre E(X|Y = y),E(Y |X = x)
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Sea
(Ω, B, P)
espacio de probabilidad.
(
1
indicadora de A por 1A (ω) =
0
i) Demuestre que 1A sigue una
encuentre el valor de
ii)
p
Demuestre que los eventos
Para
si ω ∈ A
∼
A ∈ B,
denimos la función
.
distribución de Bernouilli de parámetro
A
y
B
p, y
son independientes si y solamente si
Cov(1A · 1B ) = 0.
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Sea
(X,Y,Z)
vector aleatorio con función de densidad de probabilidad dada
por:
(
xy
0
0 < z < 1, 0 < x < z, 0 < y < z
∼
i) Calcule las densidades marginales fX (x), fY (y), fZ (z)
ii) Calcule fZ|X,Y (z|x, y),fX,Y |Z (x, y|z)
iii) Calcule E(Z|X = x, Y = y)
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Sea
S = {(x, y) ∈ R2 : x2 + y 2 ≤ 1, y ≥ 0},
superior. Sea
(X,Y)
probabilidad de que caiga en cualquier subconjunto
área (i.e.,
i.e., la semibola unitaria
vector aleatorio, que sólo toma valores en
P {(X, Y ) ∈ A} = cte · rea(A))
para todo
A
de
S,
S,
y tal que la
proporcional a su
A ⊆ S.
i) Encuentre la función de distribución FX,Y (x, y)
ii) ¾Son X,Y independientes?
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Un cierto producto funciona con una pila (una a la vez), que tiene una duración antes de fallar dada por la variable aleatoria
en forma
X, absolutamente continua y
fX (x) = 2x para 0 < x < 1. Cuando una pila falla, es remplazada
inmediata. Llamemos Xi el tiempo que dura la i-ésima pila, luego
con densidad
2
Sn =
Pn
i=1
r
Xi
indica el tiempo de la n-ésima falla. Se dena la tasa de falla del
sistema ( ) por
r = limn→∞
n
Sn
Suponiendo que los tiempos de duración de cada pila son independientes,
determine el valor de
r.
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Sea
por
X
GX
v.a. discreta a valores en
N.
Sea
Y ∼ Geometrica(1 − s).
a la función generadora de momentos de
X. Muestre que
Notemos
GX (s) = P(X < Y ).
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Se dice que
X
v.a. absolutamente continua sigue una distribución
pareto(x0 , α)
si su función de densidad de probabilidad está dada por:
(
fX (x) =
Pruebe que si
X
αxα
0
xα+1
si x > x0
∼
0
sigue una distribución
pareto(x0 , α),
entonces
ln(X) ∼
exp(α).
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Para
X
.a. positiva, se dene la función de azar de
hX (x) =
Donde
fX
y
FX
respectivamente.
X
por:
fX (x)
1 − FX (x)
representan la función de densidad y de distribución de
X,
i) Pruebe que e− 0 h(t)dt = 1 − FX (x)
ii) Pruebe que si X ∼ exp(λ), entonces hX = cte
Rx
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X1 , X2 v.a.'s i.i.d., cada una con distribución uniforme en [0,1]. Sea
mas{X1 ,X2 }
min{X1 ,X2 } . Encuentre la función de densidad de X3 , fX3 (x3 ).
Sean
X3 =
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(Convergencia de la geométrica a la exponencial)
En este problema probaremos que existe una cierta convergencia de la disPara cada δ > 0, considere Xδ una
∀k∈ N∗ ,P {(Xδ = δk)} = (1 − pδ )k−1 pδ (es
decir, una variable aleatoria similar a una geométrica de parámetro pδ , pero que
donde se hace un experimento cada δ instantes). Sea λ > 0 jo.
tribución geométrica a la exponencial.
variable aleatoria discreta, tal que
3
n
i) Pruebe que P (Xδ > nδ) = (1 − pP
δ) .
∞
δ
ii) Pruebe que E(Xδ ) = pδ . Hint: k=1 ak k =
P∞
d
dx (
ak xk )|x=1.
δ
Suponga ahora que ∀δ > 0, pδ = . Note que con esto, E(Xδ ) = λ ∀δ .
λ
iii) Dena t = nδ (intuitivamente, en un tiempo t habrán nδ experimentos).
−λt
Pruebe entonces que limδ→0 P (X > t) = e
.
k=1
Note que probó que, en cierto modo, la distribución geométrica tiende a una
exponencial.
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