Problemas Propuestos Analisis funcional N.0 - U

Universidad de Chile
Facultad de Ciencias Fı́sicas y Matemáticas
Departamento de Ingenierı́a Matemática
23 de Mayo del 2011
MA38B Análisis. Semestre 2011-01
Profesor: Rafael Correa
Auxiliares: Gianfranco Liberona, Pedro Pérez, David Salas, Nikolas Tapia.
Problemas Propuestos
Problema I:
P1 Definición: Sea H un espacio vectorial, Una función a : H × H → R bilineal, se dice coerciva si,
existe α > 0 tal que
2
a(v, v) ≥ αkvk ∀v ∈ H
Teorema de Stampacchia Sea H un espacio de hilbert, a : H × H → R bilineal, continua y
coerciva. Sea K un convexo, cerrado y no vació, entonces
(∀φ ∈ H 0 )(∃!u ∈ K)(a(u, u − v) ≥ hφ, u − vi ∀v ∈ K)
(1)
Mas aun si a es simétrica se tiene que u se caracteriza por:
a) u ∈ K
b)
1
2 a(u, u)
− φ(u) = mı́n{ 12 a(v, v) − φ(v)|v ∈ K}
Para demostrar el teorema haga lo siguiente:
1. Demuestre que para todo u ∈ H existe un unico A(u) tal que a(u, ·) = hA(u), ·i
2. Demuestre que existe C > 0 tal que a(x, y) ≤ C k x kk y k ∀x, y ∈ H.
3. Demuestre que A(·) es un operador lineal y cumple con
k A(u) k≤ C k u k ∀u ∈ H
hA(u), ui ≥ αkuk2 ∀u ∈ H
4. Sea ρ > 0, w ∈ H Sρ : H → H definida por Sρ (x) := PK (ρ(w − A(x)) + x), donde PK es la
proyeccion sobre K.Demuestre que existe ρ̄ > 0 tal que Sρ̄ es una contraccion.
5. Utilice 1. y una caracterizacion de la proyeccion sobre un convexo cerrado para concluir.
6. Ahora suponga que a es simetrica, utilizando esto pruebe la caracterizacion.
Hint: note que a es un producto interno, y que define una norma equivalente, con esto utiliza
el teorema de representacion de Riez, para a.
Problema II:
P2 Sea E un espacio de vectorial normado separable, sea (xn ) una sucesión densa en Bc (0, 1), denotemos
por B := {f ∈ E 0 :k f k≤ 1}. Se define B
d(T1 , T2 ) :=
∞
X
1
|T (x ) − T2 (xn )|
n 1 n
2
n=0
1. Pruebe que (B, d) es un espacio métrico.
2. Pruebe que si (Tn ) es un a sucesi’on en B, entonces
d(Tn , T ) → 0 ⇔ Tn (x) → T (x) ∀x ∈ E
3. Pruebe que (B, d) es compacto.
1
Problema III:
P3 Sucesión de Dirac Sea (φn ) una sucesión en C(Rp , R) no negativas, con las siguientes propiedades:
R
♣ φn = 1 ∀n ∈ N
R
♠ ∀M > 0 lı́mn→∞ kxk≥M φn (x)dx = 0
a) Sea f ∈ C(Rp , R) acotada, se define gn (x) :=
R
φn (y)f (x − y)dy.
p
a.1) Pruebe que las (gn ) ⊂ C(R , R).
a.2) Pruebe que gn converge uniformemente a f
Hint: Puede servir usar el Teorema de Arzelá Ascoli.
R1
b) Sea cn := −1 (1 − x2 )n dx Sean ahora
(
(1 − x2 )n /cn
φn (x) =
0
Si |x| ≤ 1
Si no
(2)
b.1) Demuestre que las funciones definidas en (2) satisfacen las condiciones ♣ y ♠.
b.2) Utilizando esto concluya que los polinomios son densos en C([0, 1], R)
Problema IV:
P4 Caso particular del teorema de extensión de Tietze Sea (Y, d) un espacio métrico, ∅ =
6 X⊆Y
Compacto Sea CA (Y ) el espacio de las funciones continuas acotadas de Y en R para la norma
uniforme(que denotaremos k · k). Se define φ : CA (Y ) → C(X) definida por φ(f ) := f|X
a) Pruebe que si f ∈ CA (Y ) existe f¯ ∈ CA (Y ) tal que φ(f ) = φ(f¯), k f¯ k=k φ(f ) k.
f (·)
x
Hint: Si φ(f ) 6= 0 considere f¯(·) = X ( kφ(f
)k )kφ(f )k, donde X (x) := máx{|x|,1} .
b) Pruebe que φ(CA (Y )) es denso en C(X).
c) Sea f ∈ C(X), Justifique la existencia de (gn ), tal que φ(gn ) → f y k φ(gn ) − φ(gn+1 ) k≤
2−n ∀n ∈ N.
d) Sea hn ∈ CA (Y ) talPque φ(hn ) = φ(gn − gn−1 ) k hn k=k φ(gn − gn−1 ) k (donde g−1 = 0).
Justifique que h := hn existe.
e) Pruebe que φ(h) = f . Deduzca que si f ∈ C(x) puede ser extendida a f¯ ∈ CA (Y ) tal que
kf k = kf¯k.
f) Sea f : A ⊆ Y → R una función lipschitz de constante C definamos
g(x) = ı́nf {f (y) + Cd(x, y)}
y∈A
Pruebe que g es una extensión lipschitz de f de constante C.
Problema V:
P5
a) Sea (X, dX ), (Y, dY ) espacios métricos, sea fn : X → Y una sucesión de funciones equicontinuas
en x ∈ X, pruebe que si xn → x entonces dY (fn (xn ), fn (x)) → 0
b) Pruebe que la siguiente familia gn (x) = sin(nx) no es equicontinua en ningún punto,para esto
tome la sucesi’on xn = x + π/2n.
Problema VI:
P6 Sea (X, dX ), (Y, dY ) espacios métricos, Sea H ⊆ CA (X, Y ) equicontinuo, pruebe que H̄ es equicontinuo.
2
Problema VII:
P7 Definición: Sea (X, dX ), (Y, dY ) espacios métricos, Se dice que un conjunto H ⊆ CA (X, Y ) es
uniformemente equicontinuo si y solo si
(∀ > 0)(∃δ > 0)(dX (w, z) < δ ⇒ dY (f (w), f (z)) < ∀f ∈)H
Pruebe que si (X, dX ) es compacto entonces, H es equicontinuo si y solo si H es uniformemente
equicontinuo.
Problema VIII:
P8 Sea E un espacio de Banach, sea ϕ : E → R ∪ {∞} convexa semicontinua inferior, sea x0 ∈
int(dom(ϕ)). Pruebe que existe r > 0, M > 0 tal que
ϕ(x) ≤ M ∀x ∈ B(x0 , r)
Hint: Use BAIRE.
Problema IX:
P9 Sean E, F espacios de banach, Sea a : E ×F → R una función bilineal, Demuestre que las siguientes
proposiciones son equivalentes.
a) a es continua.
b) Existe C > 0 tal que a(x, y) ≤ Ckxkkyk ∀(x, y) ∈ E × F .
c) a(x, ·), a(·, y) son continuas ∀(x, y) ∈ E × F .
Hint: para c) ⇒ b) use Teorema de acotación uniforme.
Problema X
P10 Sea E un espacio vectorial normado de dimensión infinita.
a) Demuestre que existe una función lineal f : E → R discontinua.
b) Si E es un espacio vectorial topológico (de dimensión infinita), ¿ existe una función lineal
f : E → R discontinua?
Problema XI
P11 Sea E un espacio de banach, Suponga que G, L son subespacios cerrados, tales que G+L es cerrado.
Pruebe que existe C > 0 tal que
∀z ∈ G + L z = x + y x ∈ G, y ∈ L; kxk ≤ Ckzk kyk ≤ Ckzk
Hint: Use teorema de la aplicación abierta.
Problema XII
P12 Sea G un espacio de banach.
a) Sea B ⊂ G0 , tal que ∀x ∈ G hB, xi := {f (x) : f ∈ B} es acotado, entonces B es acotado.
b) Sea B ⊂ G, tal que ∀x ∈ G hf, Bi := {f (x) : x ∈ B} es acotado, entonces B es acotado.
c) ¿ Es necesario que G sea un espacio de banach.
3
Problema XIII
P13 Sean E, F espacios de banach, sea T ∈ L(E, F ). Entonces las siguientes proposiciones son equivalentes.
a) ∃S ∈ L(F, E) tal que S ◦ T (x) = x ∀x ∈ E.
b) T (E) es cerrado y ∃N ⊆ F subespacio vectorial cerrado tal que T (E) + N = F .
Problema XIV
P13 Sean E, F espacios de banach, sea T ∈ L(E, F ). Entonces las siguientes proposiciones son equivalentes.
a) ∃S ∈ L(F, E) tal que T ◦ S(x) = x ∀x ∈ F .
b) Ker(T ) es cerrado y ∃S ⊆ E subespacio vectorial cerrado tal que ker(T ) + S = E.
4