Relación nº 10 - Universidad de Murcia

UNIVERSIDAD DE MURCIA
Departamento de Matemáticas
Ampliación de Topologı́a
Relación de problemas no 10
NUMERABILIDAD Y SEPARACIÓN (II)
110. (a) Pruebe que la recta de Sorgenfrey es un espacio regular. Deduzca que la
topologı́a del ejercicio (21) (plano de Sorgenfrey) sobre R2 , es regular.
(b) Pruebe que el plano de Sorgenfrey (ejercicio 21) no es normal.
111. Dado un conjunto X, considere los espacios topológicos (X, τ ) y (X, τ 0 ), siendo
τ ⊂ τ 0 . Estudie las propiedades de separación y numerabilidad que satisfaciendo
(X, τ ) se conservan en (X, τ 0 ).
112. Pruebe que en un espacio T3 , cualquier par de puntos distintos tienen entornos
cuyas clausuras son disjuntas.
113. Pruebe que un subespacio cerrado de un espacio normal es también normal.
114. Sea (X, τ ) un espacio normal y f : (X, τ ) −→ (Y, τ 0 ) una aplicación continua,
cerrada y sobreyectiva. Pruebe que (Y.τ 0 ) es normal.
115. Se dice que un espacio (X, τ ) es completamente normal si todo subespacio de
X es normal. Demuestre que son equivalentes:
(a) (X, τ ) es completamente normal.
(b) Para todo par de conjuntos A, B ⊂ X separados en (X, τ ), existen conjuntos
abiertos y disjuntos U y V tales que A ⊂ U y B ⊂ V .
116. Estudie cuáles de los siguientes espacios son completamente normales:
(a) Un subespacio de un espacio completamente normal.
(b) La recta de Sorgenfrey.
(c) El producto de dos espacios completamente normales.
(d) Un espacio metrizable.
(e) Un espacio regular y 2o numerable.
117. Sea K = { n1 }∞
n=1 ⊂ R y considere la familia B formada por todos los intervalos
abiertos (a, b) y todos los conjuntos (a, b) r K con a, b ∈ R. Pruebe que B es
base de una topologı́a τ sobre R que es Haussdorff pero no es regular.
118. Demuestre que:
(a) Todo espacio conexo y T4 , con más de un punto, es no numerable.
(b) Todo espacio conexo y T3 con más de un punto es no numerable.
119. Demuestre que si un espacio es T3 , Lindelöf y localmente metrizable (es decir, todo
punto posee un entorno que es metrizable con la topologı́a inducida) entonces es
metrizable.
120. Sea (X, τ ) un espacio normal y F ⊂ X un subconjunto cerrado en X que es un
Gδ . Pruebe que existe una función continua f : X −→ [0, 1] tal que f −1 (0) = F .
121. Un espacio topológico (X, τ ) se dice perfectamente normal si para todo par
de cerrados disjuntos A y B de X, existe una función continua f : X −→ [0, 1]
tal que A = f −1 (0) y B = f −1 (1). Demuestre que todo espacio perfectamente
normal es completamente normal.
122. Pruebe que un espacio topológico es T1 y perfectamente normal si y sólo si es T4
y cada subconjunto cerrado es un Gδ .
123. Si un espacio (X, τ ) es T1 , se dice completamente regular si dado un punto
x ∈ X y un cerrado A ⊂ X tal que x ∈
/ A, existe una función continua f : X −→
[0, 1] tal que f (x) = 0 y f (A) = 1. Demuestre
(a) Todo subespacio de un espacio completamente regular es completamente
regular.
(b) El producto de espacios completamente regulares es un espacio completamente regular.
124. Sean X e Y dos conjuntos; diremos que una familia de aplicaciones F = {f :
X −→ Y } separa puntos si para todo x, y ∈ X distintos existe f ∈ F tal que
f (x) 6= f (y).
(a) Pruebe que la familia de aplicaciones {fn : R −→ [−1, 1]}n∈N definidas como
fn (x) = sen nx para n = 1, 2, . . . no separa puntos.
(b) Demuestre que si (X, τ ) es un espacio topológico y la familia C(X, R) de
las funciones continuas definidas en X con valores reales separa puntos;
entonces X es Hausdorff.
(c) Si (X, τ ) es T1 , entonces C(X, R) separa puntos.