Universidad Técnica Federico Santa Mar´ıa Coordinación de

Universidad Técnica Federico Santa Marı́a
Departamento de Matemática
a
Coordinación de Matemática I (MAT021)
1er Semestre 2010
Semana 14: 24 de Junio
(Ayudantı́a extra N◦ 6)
Profesores: Eduardo Cuadra, Erwin Hernández
Ayudante: Hugo Salazar
• Problema 1: Supongamos que el rendimiento r en porcentaje, de un alumno en un examen de una hora
viene dado por:
r (t) = 300t (1 − t)
Donde 0 < t < 1 es el tiempo en horas. Se pide:
a) ¿En qué momentos aumenta o disminuye el rendimiento?
Desarrollo:
Calculamos r0 (t) = 300 − 600t e igualamos a cero:
300 − 600t = 0 =⇒ t =
1
2
Luego hacemos la siguiente tabla:
t
1
0,
2
r0 (t)
+
−
%
&
1
,1
2
1
1
Por lo que se tiene que el rendimiento es creciente en el intervalo 0,
,1
y decreciente en
2
2
b) ¿En qué momentos el rendimiento es nulo?
Desarrollo:
El rendimiento es nulo cuando r (t) = 0, es decir 300t (1 − t) = 0, por lo que es cero en t = 0 y t = 1 .
c) ¿Cuando se obtiene el mayor rendimiento y cuál es?
Desarrollo:
En t = 1/2 hay un punto crı́tico, por lo que debemos calcular la segunda derivada para ver que tipo de
1
estremo se tiene: r00 = −600. Por lo que en t =
se tiene el máximo rendimiento y es:
2
1
1
1
r
= 300 ·
1−
= 75
2
2
2
.
LATEX
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• Problema 2: Encuentre dos números no negativos tales que sumen 1 y la suma de sus cuadrados sea mı́nima.
Desarrollo:
2
2
Sean x, y ∈ R+
0 , debemos minimizar la función f (x) = x + y sujeta a la restricción x + y = 1, de aquı́
2
despejamos y obtenemos y = 1 − x, luego definimos la función g (x) = x2 + (1 − x) , y derivamos:
g 0 (x) = 2x − 2 (1 − x) = 0 =⇒ x =
1
2
Luego,
g 00 = 2 − 2 (−1) = 4 > 0
Por lo que en x =
1
1
se tiene un mı́nimo. Reemplazando en x + y = 1 obtenemos que y = .
2
2
• Problema 3: Encuentre dos números no negativos cuyo producto sea 16 y la suma de uno de ellos con el
cuadrado del otro sea mı́nimo.
Desarrollo:
Sean x, y ∈ R+ , debemos minimizar la función f (x) = x + y 2 (i ) ó g (x) = x2 + y (ii ) sujeta a la restricción
16 2
xy = 16 (iii ), de aquı́ despejamos y obtenemos y = 16
, y
x , luego definimos la función h (x) = x + x
derivamos:
16
16
h0 (x) = 1 + 2
− 2
= 0
x
x
2 · 24 · 24
= 0
1−
x3
x3 − 29 = 0
x3
=
29
x
=
23
Por lo que para (i ) x = 8 y reemplazando en (iii ) se tiene que y = 2
Ahora hacemos el mismo procedimiento para la función p (y) =
16
y
2
+ y, de lo que se obtiene que y = 8 y
x = 2 . Por lo que los números pedidos son 2 y 8.
• Problema 4: Hallar a y b para qué la función f (x) = a ln x + bx2 + x tenga extremos en los puntos x1 = 1
y x2 = 2. Para esos valores de a y b, ¿qué tipo de extremos tiene la función en x1 y en x2 ?
Desarrollo:
Para que la función tenga extremos en esos puntos, su derivada debe ser cero en ellos. Por lo que hacemos:
f 0 (x) =
LATEX
a
+ 2bx + 1
x
2
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Luego debemos hacer:
y
a
= 0 =⇒ a + 2b + 1 = 0
+ 2bx + 1
x
x=1
a
a
= 0 =⇒ + 4b + 1 = 0
+ 2bx + 1
x
2
x=2
y obtenemos las ecuaciónes a + 2b + 1 = 0 y a + 8b + 2 = 0 , luego resolvemos el sistema:
a + 2b
a + 8b
=
=
−1
−2
Restando la primera a la segunda ecuación tenemos 6b = −1 =⇒ b = −
las dos tenemos que a = −
2
. Luego, para ver que tipo de extremos se tiene debemos calcular la segunda
3
derivada y evaluar.
f 00 (x) = −
Evaluando tenemos:
1
y reemplazando en cualquiera de
6
a
+ 2b
x2
2
1
1 2 1
− = − = >0
2
3x
3 x=1
3 3
3
Por lo que en x = 1 se tiene un mı́nimo.
2
1 1
1 1
1
2
− − = − =− <0
=
2
3x
3 x=2
3·4 3
6 3
6
Es decir, en x = 2 se tiene un máximo.
• Problema 5: La cantidad (y) de manera acumulada en una máquina tragamonedas durante un dı́a sigue una
ley del tipo:
x3
f (x) =
− 19x2 + 352x + 100
3
donde la variable x representa el tiempo en horas (de 0 a 24).
a) ¿ Se queda alguna vez vacı́a de dinero la máquina?
Desarrollo:
Debemos ver si la función se hace cero en algun punto dentro del intervalo [0, 24]
x3
− 19x2 + 352x + 100
3
x3 − 57x2 + 1056x + 300
=
0
=
0
La función nunca se hace cero en el intervalo [0, 24] (verifiquenlo). Por lo que la máquina, en el dia,
nunca se queda sin dinero.
LATEX
3
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b) Si se realiza la “caja” a las 24 horas. ¿Arroja ganancias para los dueños la máquina?
Desarrollo:
Debemos calcular f (24) − f (0).
2212 − 100 = 2112
Por lo tanto la máquina arroja ganancias y estas son de 2112 .
c) ¿ A qué hora la recaudación es máxima y a que hora es mı́nima?
Desarrollo:
f 0 (x) = x2 − 38x + 352
Igualamos a cero para encontrar puntos crı́ticos,
x2 − 38x + 352 = 0
Luego,
x
=
=
=
√
382 − 4 · 1 · 352
2
√
38 ± 36
2
38 ± 6
2
38 ±
por lo que se tiene que la función alcanzo puntos extremos en x = 22 y x = 16, luego calculamos la
segunda derivada:
f 00 (x) = 2x − 38
y evaluamos cada punto:
f 00 (x)|x=16 = 32 − 38 = −6 < 0
y
f 00 (x)|x=22 = 44 − 38 = 6 > 0
Por lo que en x = 16 hay un máximo y en x = 22 hay un mı́nimo en la recaudación, y será de
2233,33 en x = 16 y 2197,33 en x = 22.
d ) ¿Cuando entrega el mayor premio?
Desarrollo:
El mayor premio será igual al punto de inflección,
f 00 (x) = 3x − 38 = 0 =⇒ x = 19
Además f 000 (x) = 2 > 0
Por lo que el mayor premio se entregará a las 19:00 horas.
LATEX
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