Si se cuenta con 1000 cm2. de material para hacer - Canek

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Optimización.
E: Si se cuenta con 1000 cm2 . de material para hacer una caja con base cuadrada y la parte superior
abierta, encuentre el volumen máximo posible de la caja.
y
y
x
x
D: H
Total de material usado en la caja sin tapa, según la figura:
A = x2 + 4xy = 1000
Volumen de la caja. Función que se desea optimizar:
V = x2 y
Despejando y de la “restricción”, esto es, de la fórmula del área:
1 1000
1000 − x2
= (
− x)
4x
4 x
1
1
1000
V = x2
− x = (1000x − x3 )
4
x
4
y=
El volumen se encuentra ahora con una sola variable.
1
V 0 = (1000 − 3x2 )
4
1
V 00 = (−6x) < 0
4
Para calcular los puntos crı́ticos, igualamos la primera derivada a cero:
0
2
2
V = 0 ⇒ 1000 − 3x = 0 ⇒ 3x = 1000 ⇒ xM in =
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canek.azc.uam.mx: 6/ 3/ 2007
1
r
1000
3
2
Mı́nimo absoluto


1000
r

1 1000 
1  1000
1000 
 = 3 r 3
= 3
r
yM in = 
−
−



4
3
4
3
3  4
1000
1000
3
3
r
r
3 2 1000
1 1000
1
= ×
=
= xM in
4 3
3
2
3
2
r
3
1 1000 2
1000 1 1000
2
=
V =x y=
3 2
3
2
2
r


r
1000 1
−
3
3
r
1000
3
!
=