D - Canek

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Optimización.
E: Un hombre se encuentra en un punto A de la orilla de un rı́o rectilı́neo de 2 km de ancho. Sea C
el punto enfrente de A en la otra orilla. El hombre desea llegar a un punto B situado a 8 km a la
derecha y en la misma orilla de C.
El hombre puede remar en su bote cruzando el rı́o hasta el punto D entre B y C. Si rema a 6
km/h y corre a 8 km/h ¿a qué distancia debe estar D del punto C, para llegar al punto B lo más
pronto posible?
D: H Hagamos un bosquejo figurado de la situación:
A
•
rı́o
2
•
C
x
8−x
•
D
•
B
8
Queremos hallar x de manera que el tiempo para ir √
de A a D por el rı́o, y de D a B por la orilla,
2
sea mı́nimo. Por el teorema de
√ Pitágoras AD = 4 + x ; entonces, el tiempo empleado para
2
4+x
recorrer esta distancia es t1 =
horas ya que
6
espacio recorrido
espacio recorrido
tiempo empleado =
, puesto que velocidad =
.
velocidad
tiempo empleado
8−x
El tiempo para recorrer DB es t2 =
horas.
8
La función de la que vamos a buscar su máximo es
√
4 + x2 8 − x
+
.
T (x) = t1 + t2 =
6
8
Su derivada es
√
x
2x
1
1
√
T 0 (x) =
− =0 ⇔ √
= ⇔ 6 4 + x2 = 8x ⇒
8
2 × 6 4 + x2 8
6 4 + x2
2
2 2
2
2
2
⇒ 36(4 + x ) = 8 x ⇔ 144 = 64x − 36x ⇔ 28x = 144 ⇔
r
36
6
144
36
2
⇔ x =
=
⇒ x=
= √ ≈ 2.26 km, es decir,
28
7
7
7
éste es el único punto crı́tico.
Calculamos la segunda derivada:
√
6x2x
6 4 + x2 − √
2
6(4 + x2 ) − 6x2
24 + 6x2 − 6x2
√ 2 4+x =
√
√
T 00 (x) =
=
=
(6 4 + x2 )2
36(4 + x2 ) 4 + x2
36(4 + x2 ) 4 + x2
2
24
√
√
=
.
=
36(4 + x2 ) 4 + x2
3(4 + x2 ) 4 + x2
Observemos que T 00 > 0 siempre y en particular T 00 (2.26) > 0, por lo cual existe un mı́nimo local
en x = 2.26 km; podemos considerar que el dominio de la función T es DT = [0, 8], pues no tendrı́a
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canek.azc.uam.mx: 6/ 3/ 2007
1
2
sentido desembarcar a la izquierda de C ni más allá de B; luego el mı́nimo es el menor de los tres
números:
1
4
2 8−0
= + 1 = h = 1.3 hora;
T (0) = +
6
8
3
3
p
√
2
4 + (2.26)
8 − 2.26
9.14 5.74
+
=
+
= 1.2175 hora;
T (2.26) =
6
8
6
8
√
√
4 + 82 8 − 8
4 + 68 0
T (8) =
+
=
+ ≈ 1.41421352 hora.
6
8
6
8
Luego efectivamente el tiempo mı́nimo se logra si desembarca a 2.26 km de C.