Optimización. E: Si se cuenta con M cm2. de material - Canek
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19 Optimización. E: Si se cuenta con M cm2 . de material para hacer una caja con base cuadrada, encuentre el volumen máximo posible de la caja. y y x x D: H Total de material usado en la caja con tapa, según la figura. M es constante: A = 2x2 + 4xy = M Volumen de la caja. Función que se desea optimizar: V = x2 y Despejando y de la “restricción”, esto es, de la fórmula del área: 1 M M − 2x2 = − 2x y= 4x 4 x 1 1 2 M − 2x = Mx − 2x3 V = x 4 x 4 El volumen se encuentra ahora con una sola variable 1 V 0 = (M − 6x2 ) 4 1 V 00 = (−12x) < 0 4 Para calcular los puntos crı́ticos, igualamos la primera derivada a cero: 0 2 2 V = 0 ⇒ M − 6x = 0 ⇒ 6x = M ⇒ xM in = 19 canek.azc.uam.mx: 6/ 3/ 2007 1 r M 6 2 Mı́nimo absoluto. M r 1 M M = 6 r6 − 1 M = 6 r yM in = − 2 4 M 6 4 M 3 6 4 6 6 r r M 6 2 M = = xM in = × 4 3 6 6 r M M V = 6 6 r r 1 M − 6 3 r M 6 ! =
