D - Canek

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Optimización.
E: Un recipiente rectangular para almacenamiento, con la parte superior abierta, debe tener un
volumen de 10 m3 . El largo de su base es el doble del ancho. El material para la base cuesta
3 pesos el metro cuadrado. El material para los costados cuesta 2 pesos el metro cuadrado.
Encuentre las dimensiones para tener el más barato de esos recipientes.
D: H
y
y
x
2x
Volumen del recipiente, de la figura:
10 = 2x2 y
El costo de los materiales. Se trata de una caja sin tapa. Esta es la función que deseamos
optimizar:
C = 6x2 + 4xy + 8xy = 6x2 + 12xy
Despejamos y de la “restricción” dada, esto es, de la fórmula del volumen:
y=
10
2x2
Sustituimos en función costo y ahora queda con una sola variable:
10
1
2
C = 6x + 12x
= 6x2 + 60
2
2x
x
3
1
12x − 60
C 0 = 12x − 60 2 =
x
x2
2x
1
C 00 = 12 + 60 4 = 12 + 120 3 > 0
x
x
Segunda derivada positiva.
C 0 = 0 ⇒ 12x3 − 60 = 0 ⇒ x3 =
Mı́nimo absoluto
yM in =
22
10
2
2(5) 3
=
5
2
(5) 3
=
√
3
5 = xM in
canek.azc.uam.mx: 6/ 3/ 2007
1
√
60
3
⇒ xM in = 5
12
2