Dada la función f(x) = x3 – 12x. (a) Encuentra la primitiva F de f

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56.– PAU – Universidad de Oviedo – Fase General – Opción B – junio 2012
Dada la función f(x) = x3 – 12x.
(a) Encuentra la primitiva F de f verificando que F(2) = 1.
(b) Representa gráficamente la función f y calcula el área limitada por la curva
y el eje X entre x = – 2 y x = 2.
2
(c*) Calcula ∫ − 2 (x3 – 12x) dx
RESOLUCIÓN apartado (a)
Dada una función f(x), se denomina función primitiva de ésta a otra función F(x), derivable
en todo el dominio de f(x), tal que F'(x) coincida con el valor de f(x) en dichos puntos.
F(x) = ¿?
F '(x) = f(x)
f(x) = x3 – 12x
Calculemos la primitiva F(x)
=
∫ (x3 – 12x) dx =
∫ x3 dx – ∫ 12x dx =
x4
x2
– 12
→
4
2
x4
F(x) =
– 6x2 + k
4
=
F(2) = 1
24
– 6 · 22 + k = 1
4
4 – 24 + k = 1
k = 1 – 4 + 24
k = 21
La primitiva F(x) que verifica las condiciones del enunciado sería:
x4
F(x) =
– 6x2 + 21
4
RESOLUCIÓN apartado (b)
Representa gráficamente la función f y calcula el área limitada por la curva y el eje X entre
x=–2 y x=2
f(x) = x3 – 12x
Al ser una función polinómica sencilla de tercer grado tiene unas
características muy particulares y casi podríamos representarla generando una tabla de
valores.
y = x3 – 12x
x
–4
–3
–2
–1
0
1
2
3
4
y
– 16
9
16
11
0
– 11
– 16
–9
16
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No obstante, en este caso y para apoyar nuestros cálculos vamos a estudiar la
monotonía de la función:
Una función y se dice que es estrictamente creciente cuando verifica que y ' > 0 y
estrictamente decreciente cuando verifica y ' < 0.
Estudiamos el signo de la función derivada
y ' = 3x2 – 12
Factorizaremos el polinomio calculando las raíces:
3x2 – 12 = 0
3x2 = 12
x2 = 4
x=±2
Estudiamos el signo de dicha función:
3·(x + 2)(x – 2)
Comprobamos los valores que nos hacen cero cada uno de los factores:
x=–2 ; x=2
Estudiamos el signo de la función en cada uno de estos 3 intervalos que determinan estos dos valores
-·-
+·+
+·-
y'
+
Creciente
-2
Decreciente
2
+ℜ
Creciente
La función es estrictamente creciente para x < – 2 ∨ x > 2
… y estrictamente decreciente para – 2 < x < 2
presentando un máximo para x = – 2 y un mínimo para x = 2
Esbozo de la gráfica y visualización de la curva y el eje X entre x = – 2 y x = 2
Integrales. Aplicaciones
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En nuestro caso no va a ser necesario calcular todos los puntos de corte, pues la superficie
que hay que calcular ya está perfectamente delimitada con lo ya averiguado.
Como llevamos manifestando a lo largo del libro, en las pruebas PAU de Asturias
utilizaremos el método de lápiz y papel, aunque en el aula podremos auxiliarnos de una
calculadora gráfica, en nuestro caso la fx – CG20 de CASIO, e incluso ir comprobando las
posibles respuestas aportadas.
0
S1 → ∫ − 2 ( x3 – 12x) dx
Aplicamos la Regla de Barrow
0
x4
2
– 6x ] − 2 =
=[
4
=[
04
(−2) 4
– 6·02] – [
– 6·(– 2)2 ] =
4
4
= – 4 + 24 = 20
S1 = 20 u2
Para S2 , al estar la superficie por debajo del eje OX, la expresión dará un valor negativo.
Para que quede positivo, cambiamos de signo la integral definida:
2
S2 → – ∫ 0 ( x3 – 12x) dx
Aplicamos la Regla de Barrow
2
x4
2
=[
– 6x ] 0 =
4
=[
24
04
– 6·22] – [
– 6·02] =
4
4
= 4 – 24 = – 20
S2 = 20 u2
St = S1 + S2
St = 20 u2 + 20 u2
St = 40 u2
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VISUALIZACIÓN Y CÁLCULO DIRECTO CON CALCULADORA GRÁFICA
Simplemente bastará con representar el valor absoluto de la función:
Una vez que conocemos la gráfica de la función, es sencillo comprobar los resultados
obtenidos si tenemos unos mínimos conocimientos teóricos matemáticos...
Comprobación directa con la
calculadora científica:
Criterios de corrección y calificación especificados en la prueba oficial:
(a) Calcular la primitiva: 0.75 puntos (b) Representar la función: 1. Calcular el área: 0.75 puntos.
RESOLUCIÓN apartado (c*)
2
Calcula ∫ − 2 (x3 – 12x) dx
2
∫− 2
(x3 – 12x) dx =
Aplicamos la Regla de Barrow
2
x4
– 6x2 ] − 2 =
=[
4
=[
24
(−2) 4
– 6·(– 2)2 ] =
– 6·22] – [
4
4
= 4 – 24 – 4 + 24 =
2
∫ − 2 (x3 – 12x) dx = 0
Comprobación directa con la
calculadora científica:
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