Optimización. E: Halle el punto de la recta y = mx + b más cercano al

Optimización.
E: Halle el punto de la recta y = mx + b más cercano al origen.
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D: H
y = mx + b
Un punto arbitrario sobre la recta tiene las
coordenadas (x, mx + b).
Distancia de un punto de la recta al origen.
p
d = x2 + (mx + b)2
•
Vamos a trabajar con el cuadrado de la función anterior. Tiene los mismos puntos crı́ticos.
Usaremos la notación
D = d2
D = x2 + (mx + b)2
D 0 = 2x + 2(mx + b)m
D 00 = 2 + 2m2 > 0
Segunda derivada siempre positiva
2x + 2(m2 x + bm) = 0 ⇒ x + m2 x + bm = 0 ⇒ x(1 + m2 ) = −bm ⇒ xM in = −
bm
1 + m2
Mı́nimo absoluto
yM in = m(−
bm
−bm2
−bm2 + b + bm2
b
)
+
b
=
+
b
=
=
1 + m2
1 + m2
1 + m2
1 + m2
Ası́
xM in = −myM in
El punto deseado sobre la recta es :
(xM in , yM in ) =
bm
b
−
,
2
1 + m 1 + m2
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canek.azc.uam.mx: 6/ 3/ 2007
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