Clave de primer parcial - Departamento de Matemática

Universidad de San Carlos de Guatemala
Facultad de Ingenierı́a
Departamento de Matemática
Clave de primer parcial
Realizado por:
Rafael Martı́nez
Revisado por:
Ing. Renato Ponciano
Curso:
Matemática para computación 1
Código de Curso:
960
Año de realización:
2013
Semestre:
Segundo
Universidad de San Carlos de Guatemala
Facultad de Ingenierı́a
Matemática para computación 1
Departamento de Matemática
Segundo Semestre 2013
Primer examen parcial
Tema 1
a) ¿De cuántas maneras pueden distribuirse 16 libros diferentes entre Hugo, Paco y Luis de manera que
Hugo reciba el doble de los libros que Paco y Luis reciban individualmente?
b) Determine el coeficiente de x2 y −5 z 6 en (4x − 2y −1 − z 3 )9 .
c) En un paquete estadı́stico, solo pueden usarse dos caracteres como mı́nimo (sean letras o números) y
cinco como máximo para dar nombre a una variable; ademas, el primer sı́bolo debe ser forzosamente
una letra. ¿Cuantos nombres de variable pueden formarse? ¿Cuantos pueden formarse si no pueden
repetirse letras ni números? Use un alfabeto de 26 letras.
d) ¿Cuántas permutaciones de las letras de la palabra M AN T ARRAY A existen? ¿Cuántas de esas
permutaciones no tienen letras A consecutivas?
Tema 2
Demuestre la validez del siguiente argumento:
p → (q → r)
p∨s
s̄
∴ r̄ → q̄
Tema 3
Sea P la proposición compuesta: ”Si Erick Barrondo entrena adecuadamente y Quetzaltenango
organiza los Juegos Centroamericanos y del Caribe, entonces él ganará la medalla de oro
ante su afición o romperá el récord mundial de marcha”.
a) Escriba P en forma simbólica.
b) Dé la contrapositiva, la recı́proca y la inversa de P en forma simbólica.
c) Refute (niegue) P en forma verbal.
Tema 4
Simplifique la siguiente proposición usando las leyes de la lógica.
p ∧ [(q̄ → (r ∧ r)) ∨ [q̄ ∨ ((r ∧ s) ∨ (r ∧ s̄))]]
1
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Matemática para computación 1
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Segundo Semestre 2013
Solución
Tema 1
a)
Hugo tendrá 8 libros mientras que Paco y Luis, 4 cada uno. ¿De cuántas formas puede elegir Hugo sus 8
libros en el conjunto de los 16?
16
8
¿De cuántas formas puede elegir Paco sus 4 libros en el conjunto de los 8 restantes?
8
4
¿De cuántas formas puede elegir Luis sus 4 libros en el conjunto de los 4 restantes?
4
4
Como cada grupo de 4 libros de Paco es distinto a cada grupo de 4 libros de Luis, no hace falta dividir entre
algo más, por lo tanto la respuesta es
16 8 4
= 900900
8
4 4
b)
Como (4x − 2y −1 − z 3 )9 es el producto de 9 paréntesis (4x − 2y −1 − z 3 ), el coeficiente de x2 y −5 z 6 es la
manera de elegir en 2 paréntesis a 4x, en 5 paréntesis a −2y −1 y en 2 paréntesis a −z 3 (Se cumple que
2 + 5 + 2 = 9), y esto se puede hacer (Usando el coeficiente multinomial) de
9!
formas
2!5!2!
Pero debemos incluir a los factores 42 ,(−2)5 y (−1)2 porque acompañan a las potencias de x,y −1 y z 3
respectivamente.Por lo tanto, la respuesta es
9!
· 42 × (−2)5 × (−1)2 = −387072
2!5!2!
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c)
Se tiene un alfabeto de 26 letras y 10 dı́gitos como caracteres disponibles (36 en total).
Caso 1: Se pueden repetir caracteres.
Debemos sumar las palabras de 2,3,4 y 5 caracteres. Para el primer caracter tenemos 26 opciones porque
necesariamente debe ser una letra, para cada uno de los restantes tenemos 36 opciones, porque es el total
de caracteres y se pueden repetir. Ya que una palabra de 2 letras no puede ser de 3, 4 ó 5 a la vez (son
excluyentes, de igual manera para cada cantidad de caracteres) se aplica la regla de la suma para obtener
el resultado
26 × 36 + 26 × 36 × 36 + 26 × 36 × 36 × 36 + 26 × 36 × 36 × 36 × 36
= 44917704 palabras posibles.
Caso 2: No se pueden repetir caracteres.
El primer caracter también se puede elegir de 26 formas, pero para el siguiente 35 porque no se pueden
repetir, luego 34, 33 y 32. Entonces la respuesta es
26 × 35 + 26 × 35 × 34 + 26 × 35 × 34 × 33 + 26 × 35 × 34 × 33 × 32
= 33725510 palabras posibles.
d)
Caso 1: No hay restricciones.
Como no hay restricciones, las letras de la palabra M AN T ARRAY A se pueden permutar de
10!
= 75600 formas.
2!4!
Caso 2: No deben haber letras A juntas.
Debe existir por lo menos un espacio entre cada letra A:
AAAA
Falta repartir los 3 espacios restantes (en total son 10 espacios). Si los colocamos juntos, podemos hacerlo
de 5 maneras (entre una pareja de letras A o en los extremos izquierdo o derecho).
Si colocamos 2 juntos y 1 separado , podemos colocar los en 5 lugares y el en 4, por el principio
del producto, obtenemos 20 maneras de hacerlo. Si colocamos los tres todos separados, tenemos 53 = 10
maneras de hacerlo. Si sumamos todas las opciones, obtenemos 5 + 20 + 10 = 35 maneras de repartir los
espacios restantes.
Ahora solamente falta contar la manera de repartir las letras: una M , una N , una T , dos R, y una Y (Las
A ya tienen su lugar asignado en cada opción contada anteriormente; en total tenemos 6 letras por ordenar,
y esto se puede hacer de
6!
= 360 formas
2!1!1!1!1!
La respuesta es la multiplicación entre la cantidad de formas de elegir los espacios por la cantidad de formas
de llenar los espacios
35 × 360 = 12600 permutaciones
3
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Tema 2
Pasos
1) s ∨ p
2) s̄
3) p
4) p → (q → r)
5) q → r
6) ∴ r̄ → q̄
Ley conmutativa
Premisa
Regla del silogismo disyuntivo
Premisa
Modus Ponens
Contrapositiva
Tema 3
a)
Consideremos las siguientes proposiciones
r : Erick Barrondo entrena adecuadamente
q : Quetzaltenango organiza los Juegos Centroamericanos y del Caribe
s : Él ganará la medalla de oro ante su afición
t : Él romperá el récord mundial de marcha
Entonces P : (r ∧ q) → (s ∨ t)
b)
Contrapositiva
Recı́proca
Inversa
¬ (s ∨ t) → ¬ (r ∧ q)
(s ∨ t) → (r ∧ q)
¬ (r ∧ q) → ¬ (s ∨ t)
c)
Como (r ∧ q) → (s ∨ t) ⇔ ¬ (r ∧ q) ∨ (s ∨ t), La negación en forma simbólica de P es
¬ (¬ (r ∧ q) ∨ (s ∨ t)) ⇔ (r ∧ q) ∧ ¬ (s ∨ t) (Por De Morgan)
⇔ (r ∧ q) ∧ (¬ s ∧ ¬ t) (Por De Morgan)
Entonces la negación de P en forma verbal es
Erick Barrondo entrena adecuadamente y Quetzaltenango organiza los Juegos Centroamericanos y del
Caribe pero no ganará la medalla de oro ni romperá el récord mundial de marcha.
Tema 4
p ∧ [(q̄ → (r ∧ r)) ∨ [q̄ ∨ ((r ∧ s) ∨ (r ∧ s̄))]]
p ∧ [(q̄ → r) ∨ [q̄ ∨ ((r ∧ s) ∨ (r ∧ s̄))]]
p ∧ [(q̄ → r) ∨ [q̄ ∨ (r ∧ (s ∨ s̄)]]
p ∧ [(q̄ → r) ∨ [q̄ ∨ (r ∧ T0 )]]
p ∧ [(q̄ → r) ∨ [q̄ ∨ r]]
p ∧ [(q ∨ r) ∨ [q̄ ∨ r]]
p ∧ [(q ∨ q̄) ∨ (r ∨ r)]
p ∧ [T0 ∨ (r ∨ r)]
p ∧ [T0 ∨ r]
p ∧ T0
p
Proposición
Ley idempotente
Ley distributiva
Ley de inverso
Ley de neutro
Equivalencia de la implicación
Ley asociativa
Ley de inverso
Ley idempotente
Ley de dominación
Ley de neutro
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