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FACULTAD DE CIENCIAS
FÍSICAS Y MATEMÁTICAS
UNIVERSIDAD DE CHILE
Introducción al Álgebra 08-1
Guı́a de Problemas
P1. (a) (20 min.) Demuestre que ∀z1 , z2 ∈
C
z1 · z¯2 + z¯1 · z2 = 2|z1 · z2 | cos φ
donde φ es el ángulo entre los complejos z1 y z2
Departamento de Ingenierı́a Matemática - Universidad de Chile
Ingenierı́a Matemática
(b) (20 min.) Sean, s, u, v complejos que satisfacen la relación s = u − v y φ es el
ángulo entre los complejos u y v. Demuestre que
|s|2 = |u|2 + |v|2 − 2|u||v| cos φ
P2. (20 min.) Se define la relación R ⊆
C × C por
z1 Rz2 ⇔ |z1 | = |z2 |
Demuestre que R es relación de
√ equivalencia y determine y grafique la clase de equivalencia del complejo z0 = 2 + i 5
P3. (20 min.) Pruebe que ∀n ∈
N y ρ ∈ R, el complejo
z = (1 + ρeiπ/2 )n + (1 − ρeiπ/2 )n ∈
P4. (15 min.) Sea z ∈
R
C, entonces pruebe que
|z + i| = |z − i| ⇔ z ∈
P5. (15 min.) Muestre que el conjunto de todos los z ∈
z − 2
z + 1 = 2
R
C tales que
es una circunferencia en el plano complejo. Determine su centro y su radio.
P6. (15 min.) Expresar de la forma a + bi los siguientes complejos
(1 − i)4 (1 + i)4 ,
y
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1+i+
i−1
|1 − i|2 + i
α∈
R.
k=0
k
′
cos(k · α) y S =
n X
n
k=0
k
Departamento de Ingenierı́a Matemática - Universidad de Chile
P7. Considere los números reales S =
n X
n
sin(k · α), donde
(a) (30 min.) Probar la igualdad de números complejos
S + iS ′ = (1 + cos(α) + i sin(α))n
(b) (30 min.) Escriba el número complejo 1+cos(α)+i sin(α) en forma polar y deduzca
que
S = 2n (cos(α/2))n · cos(n · α/2) y S ′ = 2n (cos(α/2))n · sin(n · α/2)
(recuerde que: sin(2α) = 2 sin(α) cos(α) y cos(2α) = cos2 (α) − sin2 (α))
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