Resolución de la ecuación de onda unidimensional Equation Chapter 1 Section 1 Una perturbación propagándose en un medio unidimensional, (por ejemplo una cuerda), debe estar descrita por una función u(x,t) que sea solución de la ecuación diferencial: 2 2 2 u x , t v u x, t t 2 x 2 (1.1) Donde v es la rapidez de propagación de la onda. Formalmente esta ecuación diferencial tiene un número infinito de soluciones, por lo que nos concentraremos en un tipo especial que cumpla con alguna característica interesante. La solución que propondremos será una función que trate la variable espacial x por separado de la variable temporal t. De modo que: u x, t f x g t (1.2) Donde f (x) es la parte espacial y g(t) es la parte temporal. Insertemos la propuesta (1.2) en la ecuación (1.1): 2 2 2 f x g t v f x g t t 2 x 2 (1.3) Dado que f (x) no depende del tiempo puede salir como constante en la derivada de la izquierda, y g(t) no depende de la posición por lo que sale como constante de la derivada de la derecha, entonces se puede escribir: f x g t v 2 f x g t donde se ha usado la notación de Newton para las segundas derivadas, es decir: d2 f f x dx 2 d 2g g t dt 2 De la expresión (1.4) pueden despejarse las funciones derivadas resultando en: (1.4) g t f x v2 g t (1.5) v 2 f x g t f x (1.6) f x Y g t Puesto que la función g(t) no depende de la posición, sus derivadas tampoco, y el cociente en (1.5) puede escribirse como la constante: cg g t v2 g t Y por un argumento similar, el cociente en (1.6) se agrupa en la constante: v 2 f x cf f x De modo que las ecuaciones anteriores se escriben: Y f x cg f x (1.7) g t c f g t (1.8) Ambas ecuaciones nos dicen que se busca una función cuya segunda derivada sea proporcional a la función original. Esta es la misma estructura que la ecuación diferencial resultante de sustituir la Ley de Hooke en la 2ª Ley de Newton, para la cual se conocen sus soluciones del curso de Física I: x t A cos t B sin t Por lo que es razonable proponer que las soluciones a las ecuaciones (1.7) y (1.8) sean de la forma: (1.9) f x Ax cos kx Bx sin kx Y g t At cos t Bt sin t Las cuales, puede verificarse, satisfacen las ecuaciones correspondientes. Volviendo a la forma general: (1.10) u x, t f x g t Se sustituyen las soluciones encontradas y se tiene: u x, t Ax cos kx Bx sin kx At cos t Bt sin t (1.11) Desarrollando algebráicamente: u x, t Ax At cos kx cos t Ax Bt cos kx sin t Bx At sin kx cos t Bt Bx sin kx sin t (1.12) Recordando las identidades trigonométricas: cos a b cos a b 2 cos a b cos a b sin a sin b 2 sin a b sin a b sin a cos b 2 sin a b sin a b cos a sin b 2 cos a cos b Y sustituyendo en (1.12), se tiene: cos kx t cos kx t sin kx t sin kx t Ax Bt 2 2 (1.13) sin kx t sin kx t cos kx t cos kx t Bx At Bt Bx 2 2 u x, t Ax At Rearreglando: 1 Ax At Bx Bt cos kx t Ax At Bx Bt cos kx t 2 Ax Bt Bx At sin kx t Bx At Ax Bt sin kx t u x, t (1.14) Las constantes Ax, Ay, Bx y By pueden elegirse de tal forma que la solución quede: u x, t A cos kx t B sin kx t (1.15) En clase se llegó a la solución anterior. Ahora veamos qué relación tienen los parámetros k y ω, y si se puede llegar a alguna conclusión a partir de esta. La ecuación (1.8) dice: g t c f g t Y su solución es (1.10) g t At cos t Bt sin t Sustituyendo: d2 At cos t Bt sin t c f At cos t Bt sin t dt 2 (1.16) Efectuando las derivadas: d At sin t Bt cos t c f At cos t Bt sin t dt At 2 cos t Bt 2 sin t c f At cos t Bt sin t (1.17) 2 At cos t Bt sin t c f At cos t Bt sin t (1.18) Factorizando: De donde puede verse que: Es decir: 2 c f (1.19) g t 2 g t (1.20) O bien: 2 g t g t (1.21) Haciendo el mismo tratamiento para la ecuación espacial se llega a que: f x k 2 f x (1.22) Comparando con (1.7) se concluye entonces: k 2 cg Sustituyendo (1.21) en (1.23) se tiene: g t v2 g t (1.23) k 2 2 (1.24) v2 Con un poco de álgebra: k v (1.25) Por otro lado, en clase se vio que 2 k Por lo tanto: v 2 2 1 v Que es una de las relaciones más importantes que se vieron en clase. (1.26)
