cálculo integral

CÁLCULO INTEGRAL
1.INTEGRAL INDEFINIDA:
Si sabemos que la derivada de una función es f’(x) = 3x2 + x + 2 ¿cuál es esa función? ¿cuántas
habrá?
El proceso que permite pasar de la derivada (velocidad) a la función primitiva (espacio) se llama
integración.
Definición: Sean f(x) y F(x) dos funciones reales definidas en un mismo intervalo. Se dice que
F(x) es una primitiva de f(x) si la derivada de F(x) es f(x), es decir
F(x) es una primitiva de f(x) 
(x) = f(x)
Ejemplo. F(x) = x2 es una primitiva de f(x) = 2x, porque (x2)’ = 2x, pero también la derivada de
G(x) = x2 + 5 es f(x) = 2x, por tanto G(x) es otra primitiva de f(x). Una función puede tener
infinitas primitivas
Teorema: Si el dominio de una función es un intervalo, entonces el conjunto de todas las
primitivas de f(x), está formado por las funciones de la forma F(x) + c, siendo c un número real.
Definición: Se llama integral indefinida de una función (definida en un intervalo) al conjunto de
todas sus primitivas. Se simboliza
. Se lee “ integral de f(x) diferencial de x”
al número C, se le llama constante de integración y a la función f(x) integrando.
. Se lee “la integral de 2x diferencial de x es x2 más C”
Ejemplo.
2. PROPIEDADES LINEALES DE LA INTEGRAL.
1) La integral del producto de un número por una función es igual al número por la integral de la
función 
.
2) La integral de la suma (o diferencia) de dos funciones es igual a la suma (o diferencia) de las
integrales de las funciones 
.
En estas dos propiedades se basa el método de integración por descomposición: Siempre
conviene descomponer lo más posible el integrando:
- Sumando y restando una cantidad o bien multiplicando y dividiendo por un mismo número.
- Aplicando la propiedad distributiva.
.
- Sustituyendo la expresión de la función por otra equivalente.
1
+
2
=
+
+ .
3. INTEGRALES INMEDIATAS
- Tipo potencial: Si n ≠ -1 se verifica que
Dos casos particulares: la integral de la función nula es la función constante 
la integral de la función constante es
.
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- Tipo logarítmico:
- Tipo exponencial:
- Tipo seno – coseno:
- Tipo tangente – cotangente:
- Tipo arco–seno:
- Tipo arco–tangente:
 Se obtienen a partir de las anteriores y conviene estudiarlas, por su frecuente utilidad:
 Una integral que termina en arco tangente:
siendo el denominador
irreducible. La integración se hace utilizando la formación de cuadrados. El truco que facilita
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el proceso consiste en multiplicar numerador y denominador por 4a , para no operar con
fracciones
Ejemplo:
- Tipo neperiano-arco tangente: Esta forma se obtiene de la integración de la expresión
.
Esta expresión puede aparecer al integrar funciones racionales.
Se resuelve descomponiendo la integral en dos: una de tipo neperiano y otra de tipo arco
tangente. Para ello, se hace que en el numerador aparezca la derivada del denominador.
Ejemplo:
4. MÉTODOS DE INTEGRACIÓN
 Integración por partes: Se basa en la derivada del producto de funciones y se resume en la
fórmula
Seleccionamos u de manera que se simplifique al derivar, y dv que sea fácilmente integrable. En
caso de reiterar el método, elegimos los mismos tipos de funciones en cada paso.
Ejemplos:
1-Calcula la
incluye dx)
. Para ello a una parte del integrando le llamamos u y al resto dv (siempre
Se elige
y se sustituye en la fórmula
2-En ocasiones es necesario repetir la integración por partes en la nueva integral
En la primera integral elegimos
y en la segunda
3-También se puede emplear este método a una función como
, se elige.

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 Integración por cambio de variable: Se trata de sustituir la variable x por otra variable, t,
mediante una nueva función, para transformar el integrando en otro más sencillo. Los pasos a
seguir son:
1) Se hace t = u (x)
2) Se deriva  dt = u’(x) dx
3) Se despejan x y dx
4) Se sustituye en la integral
5) Se integra
6) Se deshace el cambio
Ejemplo:
Hemos hecho el cambio,
x – 1 = t2  x = t2 + 1  dx = 2t dt
 Integración de funciones racionales:
Las funciones racionales son de la forma
, donde p(x) y q(x) son polinomios.
Antes de aplicar el método hay que comprobar si el integrando pertenece a alguno de los
tipos potencial, logaritmo neperiano, arco tangente o neperiano-arco tangente.
El proceso consta de 4 pasos:
1) Dividir los polinomios si el grado del numerador es mayor o igual que el grado del
denominador.
2) Descomponer el denominador en factores lineales simples, factores lineales dobles, triples,
…o factores cuadráticos irreducibles simples(según el tipo de raíces de q(x)):
3) Descomponer la función en fracciones simples:
Para hallar A,B,…, C1, C2, …, M, N, …
3.1) Multiplicamos la igualdad anterior por q(x) para quitar denominadores.
3.2) Damos valores a x para obtener los valores de A, B,…
4) Integrar los sumandos.
Ejemplo:
1) Descomponer denominador x3 – x2 – x + 1 = (x + 1) (x – 1)2
2) Descomponer en fracciones simples:
3) Multiplicamos la igualdad por (x + 1) (x - 1)2, resulta:
3x + 5 = A(x - 1)2 + B(x + 1) + C(x +1) (x – 1). Los valores de A, B y C, se obtienen dando a x,
sucesivamente, los valores de las raíces más otro que puede ser x = 0.
Para x = 1  8 = 2B  B = 4.
Para x = -1  2 = 4A  A = ½.
Para x = 0  5 = A +B - C  C = -1/2.
4) Integramos
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 Integración de funciones exponenciales: las dos formas más comunes son:
a) El exponente es otra función. En este caso suele resolverse por sustitución, con el cambio
t = exponente.
Ejemplo:
. El cambio recomendado es t =
b) Si la función exponencial está multiplicada por otra función, suele dar resultado la
integración por partes, como vimos, al estudiar este método, en el ejemplo 1.
5.INTEGRAL DEFINIDA.
Dada una función f(x) continua y positiva en el intervalo cerrado, [a, b] ∈ℝ, la integral definida de
f(x) entre a y b es igual al área limitada entre la gráfica de f(x), el eje de abscisas, y rectas x = a y
x = b.
Se representa por
.
es el signo de integración.
a límite inferior de la integración.
b límite superior de la integración.
f(x) es el integrando o función a integrar.
dx es diferencial de x, e indica cuál es la variable de la
función que se integra.
Regla de Barrow: La integral definida de una función continua f(x) en un intervalo cerrado [a, b] es
igual a la diferencia entre los valores que toma una función primitiva F(x) de f(x), en los extremos
de dicho intervalo.
Isaac Barrow (1630-1677) fue un matemático inglés, cuya aportación más importante a las
Matemáticas fue la unión del cálculo diferencial e integral.
6. ÁREA ENCERRADA POR UNA CURVA Y EL EJE DE ABSCISAS
1) Si la función es positiva en un intervalo cerrado [a, b] entonces la gráfica de la función está
por encima del eje de abscisas.
El área de la función viene dada por:
A=
Para hallar el área seguiremos los siguientes pasos:
1º Se calculan los puntos de corte con el eje OX, haciendo f(x) = 0 y resolviendo la ecuación.
2º El área es igual a la integral definida de la función que tiene como límites de integración los
puntos de corte.
Ejemplo: Halla el área del recito limitado por la curva y = 4x - x2 y el eje OX.
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En primer lugar hallamos los puntos de corte con el eje OX para representar la curva y
conocer los límites de integración: 4x - x2 = 0  x = 0, x = 4.
En segundo lugar hallamos una primitiva:
El área pedida es
2) Si la función es negativa en un intervalo cerrado [a, b] entonces la gráfica de la función
está por debajo del eje de abscisas. El área de la función viene dada por:
3) Si la función toma valores positivos y negativos
En ese caso el recinto tiene zonas por encima y por debajo del eje de abscisas. Para calcular
el área de la función seguiremos los siguientes pasos:
1º Se calculan los puntos de corte con el eje OX, haciendo f(x) = 0 y resolviendo la ecuación.
2º Se ordenan de menor a mayor las raíces, que serán los límites de integración.
3º El área es igual a la suma de las integrales definidas en valor absoluto de cada intervalo.
Ejemplo: Calcula el área del recinto limitado por la curva f(x) = x3 − 6x2 + 8x y el eje OX.
x3 − 6x2 + 8x = 0  x = 0, x = 2, x = 4
El área pedida es
En este caso, por razones de simetría, se puede escribir:
u2
7. ÁREA COMPRENDIDA ENTRE DOS CURVAS
El área comprendida entre dos funciones es igual al área de la función que está situada por
encima menos el área de la función que está situada por debajo:
.
Para calcular el área del recinto seguimos los siguientes pasos:
1º Calculamos los puntos de intersección de ambas funciones  resolvemos f(x) = g(x), para
obtener los límites de integración.
2º Es recomendable dibujar el recinto y ver cómo puede obtenerse a partir de la suma o
diferencia de otros recintos que se sepan calcular por integrales definidas.
Ejemplo: Calcula el área limitada por la curva y = x2 - 5x + 6 y la recta y = 2x.
En primer lugar hallamos los puntos de corte de las dos funciones
para conocer los límites de integración.
Se obtiene:
x = 1,
x=6
De x = 1 a x = 6, la recta queda por encima de la parábola, por
tanto el área pedida es:
u2
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