Junio 2004 B3

Matemáticas II
Junio 2004
EJERCICIO B
z
PROBLEMA 3. Hallar todos los valores reales z tales que
∫x
0
− 16
2
− 2 x − 15
dx = ln 25
(3,3 puntos).
Solución:
Estudiamos la continuidad de la función integrando,
y =
− 16
2
x − 2 x − 15
x 2 − 2 x − 15 = 0
x=
x1 = 5
2 ± 4 + 60 2 ± 8
=
=
x 2 = −3
2
2
Luego
y=
− 16
2
x − 2 x − 15
es continua en ℜ − {− 3, 5}
En primer lugar calculamos la integral indefinida, descomponemos el integrando en suma de dos fracciones
A
B
A( x + 3) + B( x − 5)
−16
−16
=
=
+
=
2
x−5 x+3
( x − 5) ( x + 3)
( x − 5) ( x + 3)
x − 2 x − 15
− 16 = A( x + 3) + B ( x − 5)
A + B = 0
5 A + 5 B = 0
− 16 = ( A + B) x + (3 A − 5B ) → 
→ 
→ 8 A = −16 → A = −2
3 A − 5 B = −16
3 A − 5B = −16
sustituyendo en 1ª ecuación − 2 + B = 0 → B = 2
∫x
2 
 −2
dx = 
+
 dx =
− 2 x − 15
 x −5 x +3
− 16
2
∫
−2
2
∫ x − 5 dx + ∫ x + 3 dx = −2 Ln x − 5 + 2 Ln x + 3 + C =
2
 x +3
= Ln ( x + 3) 2 − Ln ( x − 5) 2 + C = Ln 
 +C
 x−5
Calculemos ahora la integral definida, el cálculo que realizaremos es válido cuando la función integrando es continua en
el intervalo [0, z].
z
∫
0
z
2
2
  x + 3 2 
 z +3
 3 
dx
Ln
Ln
Ln
=
=
−
 
 




x 2 − 2 x − 15
 z −5
 −5
  x − 5   0
− 16
Buscamos z de manera que,
2
2
2
2
9
 z + 3
 3 
 z + 3
 z + 3
 9

Ln 
+ Ln 25 → Ln 
25  →
 − Ln 
 = Ln 25 → Ln 
 = Ln
 = Ln 
25
 z −5
 −5
 z −5
 z −5
 25 
z+3
= 3 → z + 3 = 3z − 15 → 18 = 2 z → z = 9
2
z+3
 z + 3
z −5
=±3

 =9 →
z+3
z −5
 z −5
= −3 → z + 3 = −3z + 15 → 4 z = 12 → z = 3
z −5
En el caso z = 9, el integrando no es continuo en [0, 9] por lo que esta solución no es válida.
En el caso z = 3, el integrando es continuo en el intervalo [0, 3], esta solución es válida.
Solución z = 3.
2
 z + 3
Ln 
 = Ln 9
 z −5