Matemáticas II
Junio 2004
EJERCICIO B
z
PROBLEMA 3. Hallar todos los valores reales z tales que
∫x
0
− 16
2
− 2 x − 15
dx = ln 25
(3,3 puntos).
Solución:
Estudiamos la continuidad de la función integrando,
y =
− 16
2
x − 2 x − 15
x 2 − 2 x − 15 = 0
x=
x1 = 5
2 ± 4 + 60 2 ± 8
=
=
x 2 = −3
2
2
Luego
y=
− 16
2
x − 2 x − 15
es continua en ℜ − {− 3, 5}
En primer lugar calculamos la integral indefinida, descomponemos el integrando en suma de dos fracciones
A
B
A( x + 3) + B( x − 5)
−16
−16
=
=
+
=
2
x−5 x+3
( x − 5) ( x + 3)
( x − 5) ( x + 3)
x − 2 x − 15
− 16 = A( x + 3) + B ( x − 5)
A + B = 0
5 A + 5 B = 0
− 16 = ( A + B) x + (3 A − 5B ) →
→
→ 8 A = −16 → A = −2
3 A − 5 B = −16
3 A − 5B = −16
sustituyendo en 1ª ecuación − 2 + B = 0 → B = 2
∫x
2
−2
dx =
+
dx =
− 2 x − 15
x −5 x +3
− 16
2
∫
−2
2
∫ x − 5 dx + ∫ x + 3 dx = −2 Ln x − 5 + 2 Ln x + 3 + C =
2
x +3
= Ln ( x + 3) 2 − Ln ( x − 5) 2 + C = Ln
+C
x−5
Calculemos ahora la integral definida, el cálculo que realizaremos es válido cuando la función integrando es continua en
el intervalo [0, z].
z
∫
0
z
2
2
x + 3 2
z +3
3
dx
Ln
Ln
Ln
=
=
−
x 2 − 2 x − 15
z −5
−5
x − 5 0
− 16
Buscamos z de manera que,
2
2
2
2
9
z + 3
3
z + 3
z + 3
9
Ln
+ Ln 25 → Ln
25 →
− Ln
= Ln 25 → Ln
= Ln
= Ln
25
z −5
−5
z −5
z −5
25
z+3
= 3 → z + 3 = 3z − 15 → 18 = 2 z → z = 9
2
z+3
z + 3
z −5
=±3
=9 →
z+3
z −5
z −5
= −3 → z + 3 = −3z + 15 → 4 z = 12 → z = 3
z −5
En el caso z = 9, el integrando no es continuo en [0, 9] por lo que esta solución no es válida.
En el caso z = 3, el integrando es continuo en el intervalo [0, 3], esta solución es válida.
Solución z = 3.
2
z + 3
Ln
= Ln 9
z −5
0
