NOMBRE DE ALUMNO(A): Karen Fernanda Soto Santana 5ª Soporte METODO DE INTEGRACION POR SUSTITUCION El teorema fundamental del cálculo nos dio un método para evaluar integrales sin usar sumas de Riemann. Sin embargo, el inconveniente de este método es que debemos ser capaces de encontrar una antiderivada, y esto no siempre es fácil. En esta sección examinamos una técnica, llamada integración por sustitución, para ayudarnos a encontrar antiderivadas. Específicamente, este método nos ayuda a encontrar antiderivadas cuando el integrando es el resultado de una derivada de la regla de la cadena. Al principio, el enfoque del procedimiento de sustitución puede no parecer muy obvio. Sin embargo, es principalmente una tarea visual, es decir, el integrando le muestra qué hacer; se trata de reconocer la forma de la función. Entonces, ¿qué se supone que debemos ver? Estamos buscando un integrando de la forma f [g(x)]g′(x)dx. Por ejemplo, en la integral f (x) = x³, g(x) = x² − 3 y g′(x) = 2x. Entonces, y vemos que nuestro integrando está en la forma correcta. El método se llama sustitución porque sustituimos parte del integrando con la variable u y parte del integrando con du. También se conoce como cambio de variables porque estamos cambiando variables para obtener una expresión con la que es más fácil trabajar para aplicar las reglas de anti derivación. Mire cuidadosamente el integrando y seleccione una expresión g(x) dentro del integrando para establecer igual a u. Seleccionemos g(x) tal que g′(x) también sea parte del integrando. Sustituya u = g(x) y du = g′(x) dx. en la integral. Ahora deberíamos poder evaluar la integral con respecto a u. Si no se puede evaluar la integral, debemos regresar y seleccionar una expresión diferente para usar como u. Evalúa la integral en términos de u. Escribe el resultado en términos de x y la expresión g(x). Integral 1 Integral con raíz cuadrada. Solución Aplicaremos el cambio de variable Escogemos este cambio porque así, al sustituir en la integral, la raíz cuadrada desaparece.Calculamos la inversa del cambio de variable y derivamos: Sustituimos en la integral (cambiamos xx por s2−1s2−1 y dxdx por 2sds2sds): Operamos en el integrando para simplificarlo: Resolvemos la integral: Simplificamos un poco el resultado: Deshacemos el cambio de variable: Como s=√x+1s=x+1, Por tanto, Nota final: normalmente, para eliminar una raíz cuadrada elegimos el cambio s=s= (radicando) 22. Integral 2 Integral con exponenciales. Solución Como se indica en la tabla, cuando tenemos exponenciales aplicamos el cambio s=exs=ex. Despejamos xx y derivamos: Aplicamos el cambio de variable (escribiendo directamente ss en lugar de exex y 1/sds1/sds en lugar de dxdx): Simplificamos y resolvemos la integral: Las dos integrales que tenemos son, más o menos, directas: Por tanto, tenemos Deshacemos el cambio de variable: Con lo que la integral inicial es Integral 3 Integral con funciones trigonométricas. Solución Tanto el exponente del seno como el del coseno son impares, así que, según la tabla, podemos aplicar el cambio s=cos(x)s=cos(x) o el cambio s=sin(x)s=sin(x). Nos decidimos por el primero: s=cos(x)s=cos(x). Despejamos xx y derivamos: Calculamos el cubo del seno en la nueva variable: Aplicamos el cambio de variable: Simplificamos (las raíces van a desaparecer): Calculamos la integral obtenida: Deshacemos el cambio de variable: Por tanto, METODO DE INTEGRACION POR PARTES Cuando el integrando está formado por un producto (o una división, que podemos tratar como un producto) se recomienda utilizar el método de integración por partes que consiste en aplicar la siguiente fórmula: fórmula de integración por parte. Regla mnemotécnica: Un Día Vi Una Vaca MENOS Flaca Vestida De Uniforme (UDV = UV - FVDU). Aunque se trata de un método simple, hay que aplicarlo correctamente. Método: 1. 2. 3. 4. El integrando debe ser un producto de dos factores. Uno de los factores será u y el otro será dv. Se calcula du derivando u y se calcula v integrando dv. Se aplica la fórmula. Escoger adecuadamente u y dv: Una mala elección puede complicar más el integrando. Supongamos que tenemos un producto en el que uno de sus factores es un monomio (por ejemplo x3). Si consideramos dv = x3. Entonces, integrando tendremos que v = x4/4, con lo que hemos aumentado el grado del exponente y esto suele suponer un paso atrás. Normalmente, se escogen los monomios como u para reducir su exponente al derivarlos. Cuando el exponente es 0, el monomio es igual a 1 y el integrando es más fácil. Algo parecido ocurre con las fracciones (como 1/x). Si consideramos dv = 1/x, tendremos v = log|x| y, probablemente, obtendremos una integral más difícil. No cambiar la elección: A veces tenemos que aplicar el método más de una vez para calcular una misma integral. En estas integrales, al aplicar el método por n-ésima vez, tenemos que llamar u al resultado du del paso anterior y dv al resultado v. Si no lo hacemos así, como escoger una opción u otra supone integrar o derivar, estaremos deshaciendo el paso anterior y no avanzaremos. Integrales cíclicas: En ocasiones, tras aplicar dos veces integración por partes, tenemos que despejar la propia integral de la igualdad obtenida para poder calcularla. Un ejemplo de esto es la Integral 10. Integral 1 Solución Integramos por partes: Nota: es importante escoger x=u→dx=dux=u→dx=du ya que de este modo estamos reduciendo el grado del monomio (de 1 a 0). Si por el contrario escogemos x=dv→v=x22x=dv→v=x22 aumentamos el grado (de 1 a 2) y complicamos más la integral ya que el factor de la exponencial se mantiene igual y nos queda la integral ∫x22⋅exdx Integral 2 Solución Integramos por partes: Nota: al igual que en el ejercicio anterior, como no importa si cos x es u ó dv (ya que obtenemos un sinus), elegimos u = x para disminuir su grado (y así desaparece la x). Si escogemos dv = x, aumentamos su grado: dv=x→v=x22 Integral 3 Solución En esta integral no tenemos un producto explícito de funciones, pero como no sabemos cuál es la primitiva del logaritmo, lo que hacemos es derivarlo, es decir, u = ln (x) 2021/11/18
