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Examen de ubicacións 6
R
1.
xexp(x)dx
Usando integración por partes, se elige;
x=u
exp(x)dx = dv
dx = du
exp(x) = v
Sustituyendo, se tiene;
Z
Z
xexp(x)dx = xexp(x) −
exp(x)dx
(1)
Integrando la ecuación anterior, nos queda nalmente;
Z
xexp(x)dx = xexp(x) − exp(x) + C
Donde C es la constante de integración.
1
(2)
R
2.
sin(x)cos(x)dx
Haciendo la sustitución u = sin(x), entonces du = cos(x)dx, sustituyendo
esto en la integral original queda;
Z
Z
sin(x)cos(x)dx =
cos(x)u
du
cos(x)
(3)
Eliminando términos iguales e integrando, nalmente queda;
Z
sin(x)cos(x)dx =
u2
+C
2
(4)
Regresando a las variables originales la intefral es;
Z
sin(x)cos(x)dx =
donde C es la constante de integración.
2
sin2 (θ)
+C
2
(5)
R R R π R 2π
3.
0
0
0
r2 sin(θ)drdθdφ
Integrando primero rescpecto a r, se tiene;
V =
R3
3
Z
π
2π
Z
(6)
sin(θ)dθdφ
0
0
Integrando respecto a theta ;
V =
R3
(−cos(π) + cos(0))
3
V =
2R3
3
Z
Z
2π
dφ
(7)
0
2π
dφ
(8)
0
Finalmente integrando respecto a φ, se obtiene;
V =
4πR3
3
3
(9)
4. Sea F una función F (r, θ, φ). Usando la regla de la cadena, escriba
explicitamente el valor dF.
Para una función multivariable, la derivada esta dada por;
dF =
∂F
∂r
dr +
θ,φ
∂F
∂θ
4
dθ +
r,φ
∂F
∂φ
dφ
r,θ
(10)
5.
Enuncie el teorema fundamental del cálculo.
Sea f una función integrable en[a, x] para cada x de [a, b]. Sea c tal que
a ≤ b ≤ c y denamos una nueva función A;
Z
A(x) =
∞
f (x)dx
si a ≤ x ≤ b
(11)
0
existe una derivada A0 (x) en cada punto x del intervalo abeirto (a, b) en el
que f es continua, y para tal x tenemos;
A0 (x) = f (x)
5
(12)