TEMA 6: DESARROLLO ASINTÓTICO DE INTEGRALES

CLARA GÓMEZ GARCÍA
Mª JESÚS MACÍAS CASTILLO
NOELIA SOLÍS PRECIADO
JUAN VILLA MORALES
TEMA 6: DESARROLLO
ASINTÓTICO DE INTEGRALES
10.- Demuestra que
∞
~ √
, →∞
Tenemos una integral de la forma:
= ,
→∞
Si identificamos términos, vemos que:
= = = 0, " = ∞
Por tanto este problema lo resolvemos por el método generalizado de Laplace. Este
método se basa en que aproximamos el valor de nuestra integral a su comportamiento en
el máximo del integrando. Ambas funciones, # , son reales y continuas.
Vemos que
= $
Por tanto, se nos presenta un problema ya que no podemos decir qué exponencial
domina en el integrando.
1
Vamos a hallar la posición del verdadero máximo del integrando
= , ,
%& , = − (
, = 0 = − 2 ⇒ =
2
La posición del máximo depende de valor de x, por tanto, el máximo es movible o no
fijo.
Para aplicar el método de Laplace lo primero que haremos es transformar este problema
en uno con un máximo fijo. Para llevar a cabo esto, hacemos el cambio de variable
=
+ ⇒ = +
2
2
Vemos que el máximo de , + está situado en + = 1, haciendo el cambio en el valor
del máximo anterior
=
+⇒ += ⇒+=1=2
2
2
Realizando este cambio de variable se tiene que
∞ ,.
= +
2 /
Donde
(
+(
, + = + − 2
2
Vamos a comprobar que, efectivamente, el máximo de , + se encuentra en + = 1:
, +
(
2+
= 0 = 1 − ⇒ + = - = 1
2
2
+
(
− (
0 , +1
=
<0
+ (
2
.23
Por tanto, la integral se transforma en
=
∞ $ ..$ ( +
(
2 /
2
Desarrollando , + en torno a s=1:
, + ≈ - + ′ -+ − - +
1 ′′
-+ − -(
2
( 1 − (
(
(
, + ≈
+ 8
9 + − 1 = 1 − + − 1( 4 2
2
4
Vamos a aproximar el intervalo de integración en torno al máximo c, que está dentro
del intervalo (a, b):
;<δ $
$
~ : 3.3 +
2 ;δ
Hacemos que = → ∞, ya que los términos que añadimos son despreciables, son
Términos Exponencialmente Pequeños:
∞ $ 3.3$ ~ :
+
2 ∞
Es decir,
~, =~, = → ∞
Ya podemos calcular el valor de nuestra integral , cuando x → ∞. Para ello
hacemos el cambio de variable:
E( =
(
+ − 1( ⇒ E = + − 1
4
2
E =
2
+ ⇒ + = E
2
+
El cambio de variable también afecta a los límites, por lo que según la relación
E=
+=∞⇒E=∞ 0
+ − 1: G
+ = −∞ ⇒ E = −∞
2
Obtenemos así:
~
$
:
∞
H E
$
∞
Donde nos queda únicamente calcular el valor de la integral ∞ H E :
∞
∞
∞
$
H E = 2 H E
∞
$
/
$
3
Esta integral está tabulada y su valor es √I.
También la podemos evaluar realizando el cambio: E( = J y teniendo en cuenta la
función gamma:
∞
K! ≡ Γ1 + K = # # N O
/
Como
∞
∞
H E = 2 H E
$
∞
$
/
Llegamos a:
∞
H E =
/
$
1 ∞ P 3
1
1
√π
J ( J = Γ Q R =
2
2 /
2
2
Por tanto:
∞
∞
H E = 2 H E = √π
∞
$
/
$
Una vez calculada la integral por una de las 2 formas, tan sólo nos queda sustituir en:
$
∞
~ : H E
∞
$
De lo que obtenemos:
∞
$
= ~ √I : , -E &% → ∞
/
$
Que es lo que queríamos demostrar.
4