1.5 Variables separables y reducibles 23 1.5 Variables Separables y Reducibles Si tenemos un tipo de ecuaciones diferenciales de primer orden que se puede resolver por integración se le conoce como ecuaciones separables.[13] Se dice que una ecuación diferencial de primer orden de la forma dy = g ( x )h( y ) dx (1) Es separable o de variables separables. Si dividimos entre h( y ) la ecuación (1), la escribiríamos como p( y ) dy = g ( x) dx Donde p( y ) = (2) 1 h( y ) (3) Después podríamos integrar ambos lados ∫ p( y)dy = ∫ g ( x)dx (4) Encontrando que H ( y ) = G ( x) + c (5) En donde H ( y ) y G ( x) son las antiderivadas de (3) y de g ( x) respectivamente. Lo anterior nos indica el procedimiento para resolver las ecuaciones separables, y como resultado obtenemos una familia monoparamétrica de soluciones, las cuales se expresan de manera implícita. Ejemplo 1.5.1 Resolver dy x2 = dx 1 + y 2 Instituto Tecnológico de Chihuahua / C. Básicas Amalia C. Aguirre Parres 1.5 Variables separables y reducibles 24 Separando variables (1 + y ) dy = x dx 2 Integrando 2 (6) ∫ (1 + y ) dy = ∫ x dx , obtenemos 2 2 y+ 1 3 1 y + c1 = x3 + c2 3 3 1 3 1 3 y = x + c , la cual no es fácil despejar, por lo 3 3 que es conveniente dejarla así, de manera implícita Haciendo c2 − c1 = c , nos quedaría y + En los ejercicios subsiguientes podemos manejar una sola constante de integración, por comodidad. Ejemplo 1.5.2 Resolver el problema dy 3 x 2 + 4 x + 2 con condiciones iniciales = dx 2( y − 1) y (0) = −1 . Separando las variables 2( y − 1)dy = ( 3x 2 + 4 x + 2 ) dx (7) Integrando ambos lados del igual de (7), el lado izquierdo con respecto y a y el derecho con respecto a x , resulta y 2 − 2 y = x3 + 2 x 2 + 2 x + c Si sustituimos ( −1) 2 en (8) (8), las condiciones iniciales x = 0, y = −1 , obtenemos − 2 ( −1) = ( 0 ) + 2 ( 0 ) + 2 ( 0 ) + c , por lo que c = 3 3 2 De tal manera que y 2 − 2 y = x3 + 2 x 2 + 2 x + 3 , dejando la solución de manera implícita Ejemplo 1.5.3 Resolver (1 + x)dy − ydx = 0 Separando las variables, de una lado lo que corresponda a y y del otro a x se obtiene Instituto Tecnológico de Chihuahua / C. Básicas Amalia C. Aguirre Parres 1.5 Variables separables y reducibles 25 (1 + x)dy = ydx (9) Multiplicando ambos lados de (9) por (1 + x) , nos queda y dy 1 dx = y (1 + x) (10) Integrando ln( y ) = ln(1 + x) + c , obteniendo el antilogaritmo resulta eln( y ) = eln(1+ x ) c Aplicando propiedades de logaritmos, obtenemos y = c(1 + x) Ejemplo 1.5.4 Siendo dy x = − Con condiciones iniciales y (4) = −3 dx y Separando las variables tenemos ydy = − xdx (11) Integrando ambos lados obtenemos 1 2 1 2 y = x + c , multiplicando por 2 , resulta 2 2 y 2 = − x2 + c (12) Esto representa la ecuación de una circunferencia de la forma y 2 + x 2 = c 2 Sustituyendo los valores iniciales x = 4, y = −3 , en (12), obtenemos −32 + 42 = c 2 de tal manera que c = 5 , por lo que y 2 + x 2 = 25 Ejemplo 1.5.5 Teniendo dy y − 1 = con condiciones iiniciales y (−1) = 0 dx x + 3 Instituto Tecnológico de Chihuahua / C. Básicas Amalia C. Aguirre Parres 1.5 Variables separables y reducibles Separando variables 26 dy dx = y −1 x + 3 Integrando ambos lados del igual obtenemos ln( y − 1) = ln( x + 3) + ln c O bien eln( y −1) = eln( x +3) c , aplicando propiedades de logaritmos ( y − 1) = c( x + 3) (13) y = c( x + 3) + 1 De tal manera (14) Sustituyendo las condiciones iniciales x = −1 , y = 0 , en (14), tenemos 1 1 0 = c(−1 + 3) + 1 , por lo tanto c = − , de tal manera que y = − ( x + 3) + 1 , simplificando 2 2 resulta, la solución particular 1 1 y =− x− 2 2 dy = 2 − 3e3 x dx Ejemplo 1.5.6 Resolver Separando variables dy = ( 2 − 3e3 x ) dx Integrando ambos lados del igual ∫ dy = ∫ ( 2 − 3e ) dx , nos resulta 3x y = 2 x + e3 x + c (15) Ejemplo 1.5.7 Resolver y 3 dy = ( 2 x 2 + 3x ) dx Observamos que ya están las variables separadas Integrando ∫ y dy = ∫ ( 2 x 3 2 + 3x ) dx , obtenemos Instituto Tecnológico de Chihuahua / C. Básicas 1 3 2 2 3 2 y = x + x + c1 3 3 2 Amalia C. Aguirre Parres 1.5 Variables separables y reducibles 27 Multiplicando por 3 ambos lados de la ecuación tenemos y 3 = x 2 + Obteniendo la raíz cúbica de ambos lados del igual y = 3 x 2 + Por conveniencia podemos hacer c2 = c quedando y = 3 x 2 + 9 2 x + c2 2 9 2 x + c2 2 9 2 x +c 2 Ejemplo 1.5.8 Resolver el problema con valores iniciales ( x − 3) dy − ( y + 1) dx = 0 para y (−1) = 0 Separando variables Obtenemos e Ln x −3 + C =e dy dx dy dx , integrando ∫ = =∫ ( y + 1) ( x − 3) ( y + 1) ( x − 3) ln y + 1 = ln x − 3 + c , aplicando antilogaritmo Ln x − 3 eC y ec = c quedaría entonces e ln y +1 =e ln x − 3 + C , como y + 1 = c ( x − 3) , despejando y = c ( x − 3) − 1 Sustituyendo los valores de y (−1) = 0 o sea y = 0, x = −1 1 4 1 1 y = x− 4 4 Tenemos que 0 = c ( −1 − 3) − 1 quedando c = Donde la solución es y = −1 + Ejercicio 1.5.9 1 ( x + 3) , 4 dy 4 − 2 x = para las condiciones iniciales de y (1) = 3 dx 3 y 2 − 5 Reacomodando ( 3 y 2 − 5 ) dy = ( 4 − 2 x ) dx quedan las variables separadas Por lo que integrando ∫ (3 y 2 − 5 )dy = ∫ ( 4 − 2 x ) dx Instituto Tecnológico de Chihuahua / C. Básicas Amalia C. Aguirre Parres 1.5 Variables separables y reducibles 28 Resulta y 3 − 5 y = 4 x − x 2 + c la cualno se puede resolver fácilmente para y Sustituyendo condiciones iniciales ( 3) 3 − 5 ( 3) = 4 (1) − (1) + c donde c = 9 2 Por lo que y 3 − 5 y = 4 x − x 2 + 9 sería una solución particular. Ejercicio 1.5.10 Resolver y´= 1 + x + y + xy para las condiciones iniciales de y (0) = 3 Factorizando y´= (1 + x ) + y (1 + x) , o bien dy = (1 + x ) (1 + y ) dx Reacomodando quedan las variables separadas 1 dy = (1 + x ) dx (1 + y ) Por lo que integrando ln(1 + y ) = x + (16) 1 ∫ (1 + y) dy = ∫ (1 + x ) dx , resulta 1 2 x +c 2 (17) Aplicando antilogaritmo tenemos e ln(1+ y ) =e 1 x + x2 + c 2 Resultando 1 + y = e 1 x + x2 + c 2 , o bien 1 + y = ce Sustituyendo condiciones iniciales 1 + 3 = ce Resulta que y = 4e 1 x + x2 2 0+ 1 2 ( 0) 2 1 x + x2 2 donde c = 4 − 1 sería una solución particular. Instituto Tecnológico de Chihuahua / C. Básicas Amalia C. Aguirre Parres