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Resuelve la ecuación diferencial ordinaria de segundo orden, mediante un
cambio de variable que reduzca su orden,
2
d2 y
dy
y 2
=0
dx
dx
Solución:
Haciendo el cambio de variable
dy
=p
dx
tenemos
dp
dp dy
dp
d2 y
=
=
=p
dx2
dx
dy dx
dy
y la ecuación original queda
dp
yp
p2 = 0
dy
que es de primer orden y de variables separables.
Para resolverla la simpli…camos y separamos las variables,
dy
dp
=
p
y
Integrando ambos miembros de la ecuación,
R dp R dy
=
p
y
obtenemos
ln p = ln y + ln c
donde c es una constante de integración. Tenemos entonces
p = cy
Ahora sustituyendo de regreso nos queda la ecuación
dy
= p = cy
dx
que se reescribe como
dy
= cy
dx
y que nuevamente es de variables separables,
dy
= cdx
y
Integrando ambos miembros de la ecuación,
R dy R
= cdx
y
obtenemos
ln y = cx + ln c1
donde c1 es una nueva constante de integración.
Podemos entonces escribir …nalmente
y (x) = c1 exp (cx)
Notese que la ecuación es de segundo grado y tenemos dos constantes de
integración arbitrarias.
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