( ) 1 F x z z dz ( ) b x dx

Jul.24-2010
1ER EXAMEN: CÁLCULO INTEGRAL
Dr. Gonzalo Urcid S. ~ 1/3
PROBLEMAS DEL CAPÍTULO 5: INTEGRACIÓN
1) Sea P = {x0, x1, x2} una partición regular del intervalo [a,b]. Demostrar que si
f es continua y decreciente en [a,b], entonces Uf (P) – Lf (P) = [ f(a) - f(b) ] ∆x.
Por ser f continua admite un valor mínimo mi y un valor máximo M i
en cada subintervalo [ xi 1 , xi ] y por ser decreciente estos valores ocurren
respectivamente en xi y xi 1 , para i 1, 2 es decir, mi
f ( xi ) y M i
f ( xi 1 );
además, por tratarse de una partición regular, x (b a) / 2
U f ( P)
M1 x M 2 x y L f ( P)
U f ( P) L f ( P)
m1 x m2 x
( M 1 m1 ) x ( M 2 m2 ) x
[ f ( x0 )
f ( x1 )] x [ f ( x1 )
f ( x2 )] x
[ f ( x0 )
f ( x2 )] x [ f (a )
f (b)] x
2) Para la función F(x) determinar F (1 / 2) (valor de la derivada en x = 0.5)
1
F ( x)
F ( x)
d
dx
1
x
F (1/ 2)
x
d
dx
z 1 z 2 dz
z z 2 1 dz
x
1
z 1 z 2 dz
1
1
1
2
4
x 1 x2
5
4
3) Calcular la siguiente integral definida
b
0
b
0
2
( b
x ) dx
b
0
(b 2 b x
b
b x
b
0
x ) 2 dx
( b
2x x
2 b
3
0
x)dx
x2
2
b
b
b2
0
b
0
dx 2 b
4 2
b
3
b
0
1 2
b
2
xdx
1 2
b
6
b
a
xdx
Jul.24-2010
1ER EXAMEN: CÁLCULO INTEGRAL
Dr. Gonzalo Urcid S. ~ 2/3
PROBLEMAS DEL CAPÍTULO 5: INTEGRACIÓN
4) Bosquejar la región limitada por el eje x y las curvas f(x) = sen x y g(x) = cos x
para x ε [0, π/2] y hallar su área.
sin x
cos x
x
/4
A( )
0
/ 4 [0, / 2]
/2
sin x dx
cos x
/4
/4
cos x dx
sin x
0
/2
/4
[ cos 4 ( cos 0)] [sin
2
2
(1
5) Hallar f(x) partiendo de que f ( x)
f ( x)
f ( x) dx
f ( x) dx
f (2)
1
K
8
3
2
( x 2 3x C ) dx
1
3
x3
3
2
8
3
(5
1
3
3)
1
3
f ( x)
x 2 Cx K
x3
x2
3
2
1
3
x 3
6) Calcular la siguiente integral indefinida
sin x
dx
1 cos x
u 1 cos x
du
1
2
u
1
2
sin x
dx
1 cos x
sin x dx
C
2 u C
7) Sea f una función continua, para c
bc
1
c
u
x
c
cdu
bc
ac
u
1/ 2
dx ; x
ac
f ( x / c) dx
2 1 cos x C
0 demostrar que
b
f ( x / c) dx
ac
a
f ( x) dx
ac
a ya que c
c
bc
u
b
c
u
análogamente, x bc
1
c
du
u
1
1
1
c
b
a
f (u )c du
b
a
f (u ) du
0,
b
a
2
1 y f(0) = 3.
6 2C K y f (0) 3 0 K de donde,
1
2
3 y C
3, f (2)
)
x 2 3x C
(2 x 3) dx
f ( x)
2x
2
2
) (1
2
f ( x) dx
du
sin 4 ]
Jul.24-2010
1ER EXAMEN: CÁLCULO INTEGRAL
Dr. Gonzalo Urcid S. ~ 3/3
PROBLEMAS DEL CAPÍTULO 5: INTEGRACIÓN
8) Calcular la derivada de la siguiente integral con límites variables
x
x2
d
dx
en general,
v
u
d
dx
x
2
x
dv
du
f (u )
; si u x 2 , v
dx
dx
1 du 1
1
1 2
(1)
2x
2
u dx x
x
x x
f (t ) dt
dt
t
dt
t
f (v )
1 dv
v dx
x, f (t )
1
t
1
x
9) Calcular la siguiente integral definida
/2
/2
(1 x 2
f ( x) 1 ( x) 2 cos( x) 1 x 2 cos x
/2
/2
2 x
f ( x) dx
1
3
x
3
2
sin x
/2
0
f ( x) dx
/2
2
0
2
1 3
3 8
2
f ( x)
/2
0
cos x) dx
f es par
(1 x 2 cos x) dx
sin
2
10) Determinar el valor promedio de la función f ( x)
y hallar las abscisas donde ocurre este valor.
f (c )
1
b
b a
a
f (c )
y de f (c)
f ( x) dx
1
4
8
8
3
8
3
1
2 ( 2)
8
8
3
2
2
1
12
2
4 x 2 ; x [ 2,2]
(4 x 2 ) dx
1
4x
4
16
1
1
4
3
8
3
4 c 2 se obtienen las abscisas c
3
1
3
x3
2
2
(valor promedio)
2
3
2 3
3