Jul.24-2010 1ER EXAMEN: CÁLCULO INTEGRAL Dr. Gonzalo Urcid S. ~ 1/3 PROBLEMAS DEL CAPÍTULO 5: INTEGRACIÓN 1) Sea P = {x0, x1, x2} una partición regular del intervalo [a,b]. Demostrar que si f es continua y decreciente en [a,b], entonces Uf (P) – Lf (P) = [ f(a) - f(b) ] ∆x. Por ser f continua admite un valor mínimo mi y un valor máximo M i en cada subintervalo [ xi 1 , xi ] y por ser decreciente estos valores ocurren respectivamente en xi y xi 1 , para i 1, 2 es decir, mi f ( xi ) y M i f ( xi 1 ); además, por tratarse de una partición regular, x (b a) / 2 U f ( P) M1 x M 2 x y L f ( P) U f ( P) L f ( P) m1 x m2 x ( M 1 m1 ) x ( M 2 m2 ) x [ f ( x0 ) f ( x1 )] x [ f ( x1 ) f ( x2 )] x [ f ( x0 ) f ( x2 )] x [ f (a ) f (b)] x 2) Para la función F(x) determinar F (1 / 2) (valor de la derivada en x = 0.5) 1 F ( x) F ( x) d dx 1 x F (1/ 2) x d dx z 1 z 2 dz z z 2 1 dz x 1 z 1 z 2 dz 1 1 1 2 4 x 1 x2 5 4 3) Calcular la siguiente integral definida b 0 b 0 2 ( b x ) dx b 0 (b 2 b x b b x b 0 x ) 2 dx ( b 2x x 2 b 3 0 x)dx x2 2 b b b2 0 b 0 dx 2 b 4 2 b 3 b 0 1 2 b 2 xdx 1 2 b 6 b a xdx Jul.24-2010 1ER EXAMEN: CÁLCULO INTEGRAL Dr. Gonzalo Urcid S. ~ 2/3 PROBLEMAS DEL CAPÍTULO 5: INTEGRACIÓN 4) Bosquejar la región limitada por el eje x y las curvas f(x) = sen x y g(x) = cos x para x ε [0, π/2] y hallar su área. sin x cos x x /4 A( ) 0 / 4 [0, / 2] /2 sin x dx cos x /4 /4 cos x dx sin x 0 /2 /4 [ cos 4 ( cos 0)] [sin 2 2 (1 5) Hallar f(x) partiendo de que f ( x) f ( x) f ( x) dx f ( x) dx f (2) 1 K 8 3 2 ( x 2 3x C ) dx 1 3 x3 3 2 8 3 (5 1 3 3) 1 3 f ( x) x 2 Cx K x3 x2 3 2 1 3 x 3 6) Calcular la siguiente integral indefinida sin x dx 1 cos x u 1 cos x du 1 2 u 1 2 sin x dx 1 cos x sin x dx C 2 u C 7) Sea f una función continua, para c bc 1 c u x c cdu bc ac u 1/ 2 dx ; x ac f ( x / c) dx 2 1 cos x C 0 demostrar que b f ( x / c) dx ac a f ( x) dx ac a ya que c c bc u b c u análogamente, x bc 1 c du u 1 1 1 c b a f (u )c du b a f (u ) du 0, b a 2 1 y f(0) = 3. 6 2C K y f (0) 3 0 K de donde, 1 2 3 y C 3, f (2) ) x 2 3x C (2 x 3) dx f ( x) 2x 2 2 ) (1 2 f ( x) dx du sin 4 ] Jul.24-2010 1ER EXAMEN: CÁLCULO INTEGRAL Dr. Gonzalo Urcid S. ~ 3/3 PROBLEMAS DEL CAPÍTULO 5: INTEGRACIÓN 8) Calcular la derivada de la siguiente integral con límites variables x x2 d dx en general, v u d dx x 2 x dv du f (u ) ; si u x 2 , v dx dx 1 du 1 1 1 2 (1) 2x 2 u dx x x x x f (t ) dt dt t dt t f (v ) 1 dv v dx x, f (t ) 1 t 1 x 9) Calcular la siguiente integral definida /2 /2 (1 x 2 f ( x) 1 ( x) 2 cos( x) 1 x 2 cos x /2 /2 2 x f ( x) dx 1 3 x 3 2 sin x /2 0 f ( x) dx /2 2 0 2 1 3 3 8 2 f ( x) /2 0 cos x) dx f es par (1 x 2 cos x) dx sin 2 10) Determinar el valor promedio de la función f ( x) y hallar las abscisas donde ocurre este valor. f (c ) 1 b b a a f (c ) y de f (c) f ( x) dx 1 4 8 8 3 8 3 1 2 ( 2) 8 8 3 2 2 1 12 2 4 x 2 ; x [ 2,2] (4 x 2 ) dx 1 4x 4 16 1 1 4 3 8 3 4 c 2 se obtienen las abscisas c 3 1 3 x3 2 2 (valor promedio) 2 3 2 3 3