1461854052_Ejercitacion de integrales

José Jaime Mas E-Mail: [email protected]
IES LA ASUNCIÓN http://www.ieslaasuncion.org
MATEMÁTICAS II
ANÁLISIS MATEMÁTICO Tema 12: Cálculo de primitivas.
Resueltos en video http://www.aprendermatematicas.org
1
1. Comprueba que F ( x)  sen 2 x es una primitiva de f ( x)  sen 2 x y G ( x)   cos 2 x , otra primitiva de f(x). ¿En
2
qué constante se diferencian?
1
2. Calcula de derivada de las funciones f ( x)  arctg x y g ( x)   arctg . Y sin calculadora, obtén el valor de
x
1
arctg 7  arctg
7
Integrales inmediatas
3. Calcula las siguientes integrales indefinidas:
2


a)    3x 4  8 x 3  x  5 dx
3


e)
 senx  5e
x

 2 x dx
3


b)  1  2  3 x 2 dx
 x

c)

 3senx  5 cos x dx
g)
 5e
f)
3
x
2
x dx
x
 5 x dx
5x3
d)  3
dx
3x
3
h)  2
dx
x 1

4. Calcula las siguientes integrales indefinidas:
a)
x 4  5 x 2  3x  4
dx

x
b)
7 x 4  5 x 2  3x  4
dx

x2
c)

3
x  5x3
dx
3x
d)
x2 1
 x 2  1 dx
5. Calcula, en cada caso, la función f(x) que verifica las condiciones dadas:
3
b) f ' ( x) 
 e x y f (0)  1
a) f ' ( x)  cos x  x x y f ( )  0
2
1 x
c) f ' ( x)  x  2 cos x y la gráfica de f corta a la bisectriz del 2º cuadrante en el punto de abscisa x  
x  1
x2  3
y de y 
x
x
2
6. Calcula una primitiva de y 
7. Halla f (x) sabiendo que: f (0)  1, f ' (0)  2 ,
f ' ' ( x)  3x
8. Determina f (x) sabiendo que: f ' ' ' ( x)  24 x ,
f ' ' (0)  2 ,
f ' (0)  1 ,
f (0)  0
9. Un punto se mueve en línea recta con una velocidad dada por la fórmula v(t )  12t  5 m / s .
Calcula el espacio recorrido, e(t ) , en cada instante t, sabiendo que e(0)  10 m. ¿Cuál es la velocidad media entre
t  0 s y t  2 s ? Recuerda que la velocidad es la derivada del espacio respecto del tiempo.
10. Halla una función F(x) que verifique que x 5 F ' ( x)  x 3  2 x  3 para x  0 .
11. Halla la ecuación de una curva y = f(x), sabiendo que pasa por el punto (1,1) y que la pendiente de la recta
tangente en el punto de abscisa x es 3x + 1.
Integrales reducibles a inmediatas
12. Calcula las siguientes integrales indefinidas:
a)  cos 4 x senx dx
b)  2 sen x cos x dx
13. Calcula las siguientes integrales indefinidas:
3
2
3x
a) 
dx b)  2
dx c)  2
dx
x 1
x 1
2 x 1
c)  tg x dx
d)
3x 2
 x 2 1 dx
14. Calcula las siguientes integrales indefinidas:
1  tg x
t 1
e2s
dt
b)
a) 
dx
c)
 t 2  2t  3
 1  e2 s ds
cos 2 x
Pág. 1
d)  cotg (3x  2) dx
3x
dx f)
2
1
e)

3
e
x
x
dx
 5x
 5x
d)
es
 1  e2 s ds
e)  5 x( x 2  1) 20 dx
2
1
dx g) 
3x
dx
x 1
e)
4
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15. Calcula las siguientes integrales indefinidas:
3
3x
3x
x3
b) 
c) 
dx
dx
dx
dx
a) 
d) 
2
2
4
1  4x
1  4x
1 x
1  x4
16. Una función y  f ( x), x  1 , se sabe que tiene por derivada y ' 
a
donde a es una constante. Determina la
1 x
función si, además, se sabe que f(0) = 1 y f(1) = –1.
17. De la función f : (1,)  R se sabe que f ' ( x) 
3
y que f (2)  0 .
x  12
a) Determina f .
b) Halla la primitiva de f cuya gráfica pasa por el punto (0 ,1)
18. (CCSS2) Halla la función primitiva de f ( x)  7 x 2  x  5 que pasa por el punto (6,3)
19. (CCSS2) Halla la función f (x) que toma el valor 2 en x  1 y cuya derivada es f ' ( x)  3x 2  6
20. (CCSS2) Determina la ecuación de la función polinómica f que pasa por los puntos A(0,1) , y B(1,1) , y tal que
f ' ' ( x)  6 x  4
21. (CCSS2) Resuelve las integrales indefinidas:

4
7 
3x 3  5 x 2  2 x  3
x

3
2
dx
3
x

5
x
dx
d)
dx
c)
a)    x 2  3 dx b)   6 x 2  7  2 x 



3
3x
x2
2

x2 

22. (CCSS2) Resuelve las integrales indefinidas:
3
x
3
5
dx
a)  4  (4 x  3) 2 dx
b)  2 x  1 dx
c)  4 3 x  5 dx
d) 
dx
f)  2
e) 
dx
2x  2
3x  4
2x  2
23. (CCSS2) Resuelve las integrales indefinidas:
2
x3
b)  3 x  1 dx
c)  3
dx
d)  x 2 1  4 x 3 dx
a)  xe x dx
2
24. (CCSS2) Resuelve las integrales indefinidas:
ln x 3 dx b) 3 x dx c) 3x dx d) e 2 x dx
a) 
 x
 7  4x2

x
25. (CCSS2) Resuelve las integrales indefinidas:
ex
5x
x
x
x
a) 
b)
2
1

2
dx
c)
dx
d)
dx

 5  2e x
 1  5 x dx
x 2 + 12
26. (CCSS2) Resuelve las integrales indefinidas:
3
x
3
1
a) 
dx
b) 
dx
c) 
dx
d)  1  e x  e x dx
2
2
3
( x  1)
( x  2)
1 x
1
27. (CCSS2) Encuentra dos funciones cuya derivada sea f ( x) 
 e 2 x tales que en el punto x  0 una tenga
x 1
doble valor que la otra.




Integración por partes
28. Calcula las siguientes integrales indefinidas:
a)  x e x dx
b)  x senx dx
c)  x 3 ln x dx
d)
 x arctgx dx
29. Calcula las siguientes integrales indefinidas:
a)  x 2 cos x dx b)  ln x dx
c)  e 3 x cos x dx
Pág. 2
(En el cálculo de v poner c=1/2)
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30. Calcula las siguientes integrales indefinidas:
2
a)  ( x 2  5 x  1) cos x dx b)  arc tgx dx
c)  arc senx dx
d)  xln x  dx e)  x ln xdx
31. Al aplicar la integración por partes para calcular
 f ( x)sen x dx   f ( x) cosx   3x
2
 f ( x) sen x dx , donde f es cierta función derivable, se obtiene:
cos x dx
sabiendo que f (1)  2 , encuentra la expresión de f.
Integrales racionales
32. Calcula las siguientes integrales indefinidas racionales (el denominador solo tiene raíces reales simples):
2x 1
5x 7  4x 2  x 1
3x 2  5 x  1
x 3  4 x 2  10 x  7
a) 
dx b) 
dx
c)  2
d) 
dx
dx
2x 1
x2
x3  7x  6
x  3x  2
33. Calcula las siguientes integrales indefinidas racionales (el denominador tiene raíces reales múltiples):
dx
x 3  22 x 2  12 x  8
3x 2  5 x  1
a) 
c)
dx
dx
b)
 x3  4x 2  5x  2

x4  4x2
x  23
34. Calcula las siguientes integrales indefinidas racionales (el denominador solo tiene raíces complejas simples):
2 x 3  4 x 2  4 x  10
2 x 3  5 x  10
a) 
dx
b)
 2 x 2  5 dx
2x2  5
35. Calcula las siguientes integrales indefinidas racionales (el denominador solo tiene raíces complejas simples):
3x  1
3
b)  2
dx
a)  2
dx
x  2x  5
4x  4x  5
36. Calcula la siguiente integral indefinida racional (el denominador tiene raíces reales simples y múltiples y
dx
complejas simples):
 x5  x 2
37. Calcula la siguiente integral indefinida racional (el denominador tiene raíces reales y complejas simples):
2 x 2  3x  3
 ( x  1)( x 2  2 x  5) dx
38. (PAU 2011 Jun A3 c) Sea f la función definida por f ( x) 
c) La integral
 f ( x)dx   x
2
x
. Obtener razonadamente:
x  3x  2
2
x
dx . (3 puntos).
 3x  2
39. (PAU 2009 Sep 3.1 b) Se consideran las funciones reales f ( x)  2 x 2  12 x  6 y g ( x)  ( x  2)  ( x 2  9) .
Se pide obtener razonadamente:

f ( x)
dx que cumple H (3)  (1,7 puntos)
b) La función H(x)= 
3
g ( x)
40. (PAU 2007 Sep 3.1 b) Dadas las funciones reales f ( x)  4 x 2  2 x  10 y g ( x)  x3  x 2  5 x  5 . Se pide:
f ( x)
dx que cumple H (0)  0 . (1,7 puntos).
b) Calcular la función H ( x)  
g ( x)
41. (PAU 2007 Jun 3.1 b) Dadas las funciones reales f ( x)  12 x3  8 x 2  9 x  5 y g ( x)  6 x 2  7 x  2 . Se pide:
f ( x)
b) Calcular la función H ( x)  
dx que cumple H (1)  1 . (1,7 puntos).
g ( x)
Pág. 3
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Integración por cambio de variable
42. Explica el método de integración por cambio de variable y aplícalo para calcular:
dx
1 ex
2 x dx
b)  cos x sen 3 x dx c) 
d) 
dx
a) 
1 ex
(1  x) x
9  x2
43. Calcula la siguiente integral indefinida haciendo un cambio de variable:
dx
4
 x  4 x (Ayuda: cambio x  t )
44. Calcula la siguiente integral indefinida haciendo un cambio de variable:
2
 x x  1 dx (Ayuda: cambio x  1  t )
x3
 x  12 dx de dos formas
a) Usando fracciones simples.
b) Mediante el cambio t  x  1
45. Calcula
46. Calcula la siguiente integral indefinida haciendo un cambio de variable:

e x  4 dx
(Ayuda: cambio e x  4  t 2 )
47. Calcula la siguiente integral indefinida haciendo un cambio de variable:
x
6
 3 x 1 dx (Ayuda: cambio x  t )
48. Calcula la siguiente integral indefinida haciendo un cambio de variable:

1  x 2 dx
(Ayuda: cambio x  sen t )
49. Calcula la siguiente integral indefinida haciendo un cambio de variable:
x5 2
x5
 x dx (Ayuda: cambio x  t )
50. Calcula la siguiente integral indefinida haciendo un cambio de variable:
dx
2
 2  x  1  x (Ayuda: cambio 1  x  t )
Integrales de algunas funciones trigonométricas
51. Calcula las siguientes integrales trigonométricas haciendo un cambio de variable:
a)  sen 3 x  cos 2 x dx (Ayuda: cambio cos x  t )
b)  sen 2 x  cos 3 x dx (Ayuda: cambio senx  t )
c)  sen 5 x dx (Ayuda: cambio cos x  t )
d)  sen 3 x  cos 3 x dx
52. Calcula las siguientes integrales indefinidas:
a)  cos 2 x dx (dos formas: fórmula trigonométrica y por partes)
b)  cos 4 x dx
53. Calcula la siguientes integral indefinida
dt
1
t2
sen 2 x
2
2
(Ayuda:
cambio
dx

,
cos
x

,
sen
x

)
dx
tgx

t
y
por
tanto
 cos 4 x
1 t 2
1 t 2
1 t 2
Pág. 4
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54. Calcula las siguientes integrales indefinidas:
1
senx  cos x
a) 
b) 
dx
dx
1  cos x
sen x
(Ayuda: en ambas integrales cambio tg
2dt
2t
x
1 t 2
,
cos
x

, senx 
)
 t y por tanto dx 
2
2
1 t
1 t
1 t 2
2
Pág. 5