la integral

LA INTEGRAL
INTEGRALES INDEFINIDAS
Si y’ es la derivada de y, entonces se dice que y es la integral indefinida de y’, y
lo denotamos como:

y´ dx = y
Por ejemplo, dado que si y = 3x2 entonces y’=6x; podemos obtener que

6x dx = 3x
.
2
Considere que lo que se resolvió al resolver la integral indefinida fue buscar la
función cuya derivada fuera y’=6x y esa función resultó ser y = 3x2
Se acostumbra sumar una constante cualquiera representada por c en la
solución de la integral indefinida, esto quiere decir que al resolver  6x dx se
obtiene más bien 3x 2 +c . En realidad esta añadidura de “c” es correcta, pues si
deriváramos 3x 2 +c (por ejemplo 3x 2 +5 ó 3x 2 +3 digamos, pues “c”
representa cualquier constante ) entonces obtenemos y’=6x
Las fórmulas para resolver las integrales indefinidas más comunes son:
a)

a dx = ax + c
Ejemplo:
b)


donde a y c son constantes
3 dx = 3x + c
xn dx = xn+1
/ n+1
+ c
donde n es cualquier constante distinta
de -1
Ejemplo:
c)


x4 dx = x5 /5 + c
a /x dx = a ln(x) +c
Ejemplo:
d)

e
ax
Ejemplo:

4 /x dx = 4 ln(x)+c
dx =

e
2x
e
ax
dx =
/a +c
e
2x
/2 +c
1

e)
”de suma y / o resta de términos “
=
“ suma y / o resta de las
integrales de esos términos” + c
Ejemplo: Para resolver
que

e
2x
dx =
e
2x

(4 /x + e
/ 2 entonces
ax
) dx dado que

(4 /x + e
ax

4 /x dx = 4 ln(x) y dado
) dx = 4 ln(x) + e
2x
/2 +c
f) En general, si a es cualquier constante y f es cualquier función, se puede facilitar la
resolución de la integral si se procede haciendo:

a f dx
=
a

f dx
Vale la pena resolver ejercicios en clases auxiliándose con el profesor.
Ejercicios:
Calcula las siguientes integrales:
1
2
3
4
y= ex + x
y=1/x - x2
y= 1 - x+ x3
y= 5x3
INTEGRALES DEFINIDAS
Si y’ es la derivada de y, entonces la siguiente expresión se dice que es la
integral definida de y’ evaluada entre a y b:
a

y´ dx =
y | ab = y (a) - y (b)
b
Así, la integral definida de 6x evaluada entre 4 y 2 es:
4

6x dx = 3x
2
| 42 =
3( 4)
2
- 3 (2)
2
=
48 -12 = 36
2
LA INTEGRAL DEFINIDA VISTA COMO EL ÁREA BAJO LA CURVA.
Si f es una función y si se conoce su gráfica, entonces el área bajo la gráfica y
sobre el eje x y limitada por las rectas x = a y x = b , viene a ser:
a
Área =

f dx
b
2
Así, el área bajo la gráfica de y= x
x= 4 y x= 2 es:
4
Área =

2
x2 dx = x 3 / 3
2
| 42 =
y sobre el eje x y limitada por las rectas
( 4)
3
/3
- (2)
2
/3 =
64/3 - 4/3
= 61/3 = 20.33
Ejercicios:
Calcula las siguientes integrales definidas
4
1.

( ex + x ) dx
1
5
2.

(1/x2 - x2 ) dx
1
3
7

3.
(1 - x2+ x4 ) dx
0
1

4.
3x3 dx
1
5.
La distancia que recorren los salmones en el invierno en una ruta del norte de
Europa está dada por la integral
tiempofinal

( t + 3t2 ) dt
donde el tiempo 0 corresponde al principio del invierno y el
0
tiempo final al tiempo transcurrido desde el principio del invierno y es medido en días.
Calcule la distancia ( o sea, evalúe la integral ) para tiempo final= 60 días. (el
resultado estará expresado en metros).
6. Cierta especie de anguila gasta energía de forma muy aproximada a
dis tan ciafinal

( 0.3 + 24 d ) d d donde la distancia final viene a ser la distancia recorrida
0
en metros desde el lugar inicial de medición. Calcule la energía gastada ( o sea,
evalúe la integral ) para distancia final= 7000 metros. (el resultado estará expresado
en kilocalorías).
7. El volumen de petróleo (en litros) que escapaba hace unas semanas del pozo en
el Golfo de México seguía de manera aproximada la ecuación:
no. dedias

(50000+0.1t )dt
0
Calcula cuántos litros habrían escapado en un mes, y en medio año.
4