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Integrales
La integración es un concepto fundamental de las matemáticas avanzadas,
especialmente en los campos del cálculo y del análisis matemático.
Básicamente, una integral es una suma de infinitos sumandos, infinitamente
pequeños.
Dada una función f(x) de una variable real x y un intervalo [a,b] de la recta real,
la integral
es igual al área de la región del plano xy limitada entre la gráfica de f, el eje x, y
las líneas verticales x = a y x = b, donde son negativas las áreas por debajo del
eje x.
La palabra "integral" también puede hacer referencia a la noción de primitiva:
una función F, cuya derivada es la función dada f. En este caso se denomina
integral indefinida, mientras que las integrales tratadas en este artículo son las
integrales definidas. Algunos autores mantienen una distinción entre integrales
primitivas e indefinidas.
Newton y Leibniz a finales del siglo XVII. A través del teorema fundamental del
cálculo, que desarrollaron los dos de forma independiente, la integración se
conecta con la derivación, y la integral definida de una función se puede
calcular fácilmente una vez se conoce una antiderivada. Las integrales y las
derivadas pasaron a ser herramientas básicas del cálculo, con numerosas
aplicaciones en ciencia e ingeniería.
Bernhard Riemann dio una definición rigurosa de la integral. Se basa en un
límite que aproxima el área de una región curvilínea a base de partirla en
pequeños trozos verticales. A comienzos del siglo XIX, empezaron a aparecer
nociones más sofisticadas de la integral, donde se han generalizado los tipos
de las funciones y los dominios sobre los cuales se hace la integración. La
integral curvilínea se define para funciones de dos o tres variables, y el
intervalo de integración [a,b] se sustituye por una cierta curva que conecta dos
puntos del plano o del espacio. En una integral de superficie, la curva se
sustituye por un trozo de una superficie en el espacio tridimensional.
Las integrales de las formas diferenciales desempeñan un papel fundamental
en la geometría diferencial moderna. Estas generalizaciones de la integral
surgieron primero a partir de las necesidades de la física, y tienen un papel
importante en la formulación de muchas leyes físicas cómo, por ejemplo, las de
la electromagnetismo. Los conceptos modernos de integración se basan en la
teoría matemática abstracta conocida como integral de Lebesgue, que fue
desarrollada por Henri Lebesgue.
∫ (3𝑥 + 1)e−5𝑥 𝑑𝑥



Ejemplo 2 de la integral por partes es la siguiente:
Primero tenemos que encontrar a u y dv:
El segundo paso es obtener la derivada de du y la integral de v como se muestra a
continuación.
u= 3x+1

1
dv= 𝑒 −5𝑥 dx
du=3dx
v= − 5 𝑒 −5𝑥
Ya obteniendo lo anterior se usa la formula de integración por partes y se sustituyen
valores como se muestra a continuación.
u
dv
u
v
-∫
v
du
1
1
∫ (3𝑥 + 1)e−5𝑥 = (3𝑥 + 1) − 5 𝑒 −5𝑥 − ∫ − 5 𝑒 −5𝑥 (3 𝑑𝑥)
1

El − 5 nos va a estorbar , por eso se saca de la integral y se coloca después de U y V y
el valor 3 como está multiplicando sube dividiendo a 1/5 como se muestra ahora:
1
3
(3𝑥 + 1)𝑒 −5𝑥 − ∫ 𝑒 −5𝑥 𝑑𝑥
5
5
Y se obtiene el siguiente resultado multiplicando los valores 5
−

1
5
− (3𝑥 + 1)𝑒 −5𝑥 +
3
∫ 𝑒 −5𝑥
25
(5x+3) cos(3x) 𝑑𝑥
Ejemplo 3 de la integral por partes es la siguiente:
Primero tenemos que encontrar a u y dv:
El segundo paso es obtener la derivada de du y la integral de v como se muestra a
continuación.



du= 5 𝑑𝑥
u= (5x+3)
1
3
dv=cos 3𝑥
1
3
(5x+3) cos(3x)= (5x+3) 𝑠𝑒𝑛3𝑥 − ∫ 𝑠𝑒𝑛3𝑥(5𝑑𝑥)
=
1
(5x+3)
3
-cos(3x) − ∫ 𝑠𝑒𝑛3𝑥(5𝑑𝑥)
=
1
(5x+3)
3
-cos(3x) − 3 − 3 − 𝑐𝑜𝑠3𝑥(5𝑑𝑥)
=
1
(5x+3)
3
-cos(3x)+ 9 𝑐𝑜𝑠3𝑥(5) + 𝑐

+C
1
3
1
1
1
El valor 5 esta multiplicando y sube dividiendo
=
1
(5x+3)
3
5
-cos (3x)+ 9 𝑐𝑜𝑠 + 𝑐
1
v=3 𝑠𝑒𝑛3𝑥