Teoría de la Integración

Introducción
Integrales de Stieltje y Lebesgue
Conclusiones
Teoría de la Integración
Diego Acosta Álvarez
Licenciatura en Matemáticas y Física
Universidad de Antioquia
Diego Acosta Álvarez
Teoría de la Integración
Introducción
Integrales de Stieltje y Lebesgue
Conclusiones
1
Introducción
Definiciones iniciales
2
Integrales de Stieltje y Lebesgue
Integral de Stieltjes
Integral de Lebesgue
3
Conclusiones
Diego Acosta Álvarez
Teoría de la Integración
Introducción
Integrales de Stieltje y Lebesgue
Conclusiones
Definiciones iniciales
Introducción
Para toda persona con formación matemática superior, es conocida
la teoría de la integración de Riemann. Sin embargo, no es común el
conocimiento de otras teorías, como la de Stieltjes o la de Lebesgue.
Cuando se profundiza en la teoría Riemanniana, se comprenden sus
limitaciones y se descubre que hay otras más generales.
Teniendo esto como punto de partida, se pretende hacer una introducción a estas dos teorías, planteando su necesidad e importancia,
así como los casos en los que las distintas teorías coinciden.
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Integrales de Stieltje y Lebesgue
Conclusiones
Definiciones iniciales
Definiciones iniciales
Partición
Una partición P de un intervalo compacto [a, b] es un conjunto de
puntos, P = {x0 , x1 , . . . , xn } tal que a = x0 < x1 < . . . < xn = b.
La norma de P es el mayor de los números ∆xk = xk − xk−1 , y se
representa por kPk. Es decir, kPk = máx1≤k≤n {∆xk }.
La partición P0 de [a, b] es un refinamiento de P, si P ⊂ P0 . De este
modo, kP0 k ≤ kPk.
Finalmente, el conjunto de todas las particiones posibles de [a, b] se
denota por: P([a, b]).
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Conclusiones
Definiciones iniciales
Definiciones iniciales
En lo sucesivo se trabajará sobre un intervalo compacto [a, b] y
mientras no se diga lo contrario, todas las funciones designadas por
α, β, f, g se supondrán definidas y acotadas en [a, b].
Función escalonada
Una función s sobre un intervalo compacto [a, b] se dice escalonada
si existe una partición P = {x0 , x1 , . . . , xn } de [a, b] tal que s es constante en cada uno de los subintervalos abiertos determinados por la
partición, es decir, para cada k = 1, · · · , n existe ck ∈ R tal que si
x ∈ (xk−1 , xk ), entonces f (x) = ck .
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Integrales de Stieltje y Lebesgue
Conclusiones
Definiciones iniciales
Definiciones iniciales
Sucesión de funciones
Sea A ⊂ R y supongamos que para cada n ∈ N existe una función
fn : A → R. Decimos que ( fn )n∈N es una sucesión de funciones de A
a R.
Una sucesión de funciones reales ( fn )n∈N definidas en un conjunto
S es creciente en S si fn (x) ≤ fn+1 (x) para todo x ∈ S y para todo
n ∈ N.
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Integrales de Stieltje y Lebesgue
Conclusiones
Definiciones iniciales
Definiciones iniciales
Convergencia simple
Se dice que la sucesión de funciones ( fn )n∈N converge simplemente
a la función f si y solo si ∀ε > 0 ∀x ∈ A ∃n0 (ε, x) ∈ N tal que
∀n ≥ n0 , se tiene | fn (x) − f (x)| < ε. Si este es el caso escribimos
fn → f . Notemos que n0 ∈ N depende tanto de ε > 0 como de
x ∈ A.
Convergencia uniforme
Se dice que la sucesión de funciones ( fn )n∈N converge uniformemente a la función f si y solo si ∀ε > 0 ∃n0 (ε) ∈ N tal que
∀x ∈ A ∀n ≥ n0 , se tiene | fn (x) − f (x)| < ε. Si este es el caso escribimos fn ⇒ f . Notemos que n0 ∈ N depende exclusivamente de
ε > 0 y es independiente de x ∈ A.
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Integrales de Stieltje y Lebesgue
Conclusiones
Definiciones iniciales
Definiciones iniciales
Convergencia simple
Se dice que la sucesión de funciones ( fn )n∈N converge simplemente
a la función f si y solo si ∀ε > 0 ∀x ∈ A ∃n0 (ε, x) ∈ N tal que
∀n ≥ n0 , se tiene | fn (x) − f (x)| < ε. Si este es el caso escribimos
fn → f . Notemos que n0 ∈ N depende tanto de ε > 0 como de
x ∈ A.
Convergencia uniforme
Se dice que la sucesión de funciones ( fn )n∈N converge uniformemente a la función f si y solo si ∀ε > 0 ∃n0 (ε) ∈ N tal que
∀x ∈ A ∀n ≥ n0 , se tiene | fn (x) − f (x)| < ε. Si este es el caso escribimos fn ⇒ f . Notemos que n0 ∈ N depende exclusivamente de
ε > 0 y es independiente de x ∈ A.
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Definiciones iniciales
Definiciones iniciales
Conjunto de medida cero
Diremos que un conjunto T ⊂ R tiene medida cero y escribimos
µ(T ) = 0 si para cada ε > 0 existe una colección numerable (In )n∈N
S
P∞
de intervalos abiertos tal que T ⊆ ∞
n=1 In y
n=1 L (In ) < ε, donde
L (In ) representa la longitud del n-ésimo, intervalo, esto es L (In ) =
bn − an , con an = ı́nf In y bn = sup In .
Decimos que una propiedad se verifica casi en todo un conjunto S y
escribimos c.e.t S si se cumple en todo S salvo en un conjunto A ⊂ S
de medida cero.
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Integral de Stieltjes
Integral de Lebesgue
Integral de Stieltjes
Definición
Sean P ∈ P([a, b]) y tk un punto del subintervalo [xk−1 , xk ]. Una
suma de la forma
S (P, f, α) =
n
X
f (tk )∆αk
k=1
donde el símbolo ∆αk representa la diferencia α(xk ) − α(xk−1 ), se
denomina suma de Stieltjes de f respecto a α. Decimos que f es
Stieltjes-integrable con respecto a α en [a, b] y escribimos f ∈ S (α)
en [a, b], si existe un número A que goza de la propiedad siguiente:
∀ε > 0 ∃Pε ∈ P([a, b]) tal que para toda partición P más fina que
Pε se tiene |S (P, f, α) − A| < ε.
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Integral de Stieltjes
Integral de Lebesgue
Integral de Stieltjes
Definición
´b
Cuando un tal número A existe, es único y se representa por a f dα
´b
o por a f (x)dα(x). Entonces se dice que exise la integral de Stieltjes. Las funciones f y α se denominan respectivamente integrando e
integrador.
En el caso particular en que α(x) = x escribimos S (P, f ) en lugar de
S (P, f, α) y f ∈ R en lugar de f ∈ S (α). La ´integral se´llama enb
b
tonces integral de Riemann y se representa por a f o por a f (x)dx.
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Integral de Stieltjes
Integral de Lebesgue
Integral de Stieltjes
Observaciones
Como se puede observar, la integral de Riemann se obtiene
como caso particular de la integral de Stieltjes en el caso en
que el integrador es la función identidad.
Si la función α(x) es diferenciable, la integral´ de Stieltjes se
b
calcula como una integral de Riemann así: a f (x)dα(x) =
´b
0
a f (x)α (x)d(x).
La integral de Stieltjes tiene sentido cuando α no es diferenciable y aun si no es continua. De hecho, es al tratar con funciones discontinuas cuando se hace patente la importancia de
utilizar integrales de Stieltjes.
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Integral de Stieltjes
Integral de Lebesgue
Integral de Stieltjes
Criterio de Lebesgue para la existencia de integrales de Riemann
Una función f : [a, b] → R es Riemann-integrable si y solo si el
conjunto de puntos de discontinuidad tiene medida cero.
La función de Dirichlet ϕ : R → R definida por
(
1, si x ∈ Q
ϕ(x) =
0, si x ∈ Q∗
no es integrable Riemann, porque es discontinua en todo R y es claro
que µ(R) , 0.
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Integral de Stieltjes
Integral de Lebesgue
Integral de Stieltjes
Convergencia uniforme e integración de Riemann
Sea ( fn )n∈N una sucesión de funciones Riemann-integrables en [a, b]
tal que fn ⇒ f en [a, b]. Entonces la función límite f es Riemannintegrable en [a, b] y se verifica la igualdad:
ˆ
lı́mn→∞
b
ˆ
fn (x)dx =
a
b
f (x)dx
a
Cabe anotar que la condición de convergencia uniforme es forzosa.
En el caso de convergencia simple, la conclusión del teorema puede
no ser cierta.
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Integral de Stieltjes
Integral de Lebesgue
Integral de Lebesgue
Integral de una función escalonada
Definimos
la integral de una función escalonada por la suma
´b
Pn
s(x)dx
=
k=1 ck (xk − xk−1 ). Notemos que la integral está bien
a
definida, pues no depende de la partición elegida de [a, b]. Además
coincide con su integral de Riemann.
Función superior
Una función real f definida en un intervalo I se llama superior en I,
y se escribe f ∈ U(I), si existe una sucesión creciente
´ de funciones
escalonadas (sn )n∈N tal que sn → f c.e.t I y lı́mn→∞ I sn es finito.
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Integral de Lebesgue
Integral de Lebesgue
Integral de una función escalonada
Definimos
la integral de una función escalonada por la suma
´b
Pn
s(x)dx
=
k=1 ck (xk − xk−1 ). Notemos que la integral está bien
a
definida, pues no depende de la partición elegida de [a, b]. Además
coincide con su integral de Riemann.
Función superior
Una función real f definida en un intervalo I se llama superior en I,
y se escribe f ∈ U(I), si existe una sucesión creciente
´ de funciones
escalonadas (sn )n∈N tal que sn → f c.e.t I y lı́mn→∞ I sn es finito.
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Integral de Stieltjes
Integral de Lebesgue
Integral de Lebesgue
Definición
Designaremos por L(I) al conjunto de todas las funciones f : I → R
de la forma f = u − v, donde u ∈ U(I) y v ∈ U(I).
Cada función f ∈ L(I) se llamará función integrable Lebesgue en I,
y su integral se definirá por medio de la ecuación
ˆ
ˆ
ˆ
f = u− v
I
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I
I
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Conclusiones
Integral de Stieltjes
Integral de Lebesgue
Integral de Lebesgue
Lema
Sean f y g funciones
en I. Si f ∈ L(I) y f = g c.e.t I,
´ definidas
´
entonces g ∈ L(I) y I f = I g.
Teorema de convergencia dominada de Lebesgue
Sea ( fn )n∈N una sucesión de funciones integrables de Lebesgue en un
intervalo I. Supongamos que ( fn ) converge c.e.t I hacia una función
f y que existe una función no negativa g ∈ L(I) tal que para
´ todo
n ∈ N, | fn (x)| ≤ g(x) c.e.t I. Entonces f ∈ L(I), la sucesión ( I fn )n∈N
converge e
ˆ
ˆ
f = lı́mn→∞
I
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fn
I
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Integral de Stieltjes
Integral de Lebesgue
Integral de Lebesgue
Lema
Sean f y g funciones
en I. Si f ∈ L(I) y f = g c.e.t I,
´ definidas
´
entonces g ∈ L(I) y I f = I g.
Teorema de convergencia dominada de Lebesgue
Sea ( fn )n∈N una sucesión de funciones integrables de Lebesgue en un
intervalo I. Supongamos que ( fn ) converge c.e.t I hacia una función
f y que existe una función no negativa g ∈ L(I) tal que para
´ todo
n ∈ N, | fn (x)| ≤ g(x) c.e.t I. Entonces f ∈ L(I), la sucesión ( I fn )n∈N
converge e
ˆ
ˆ
f = lı́mn→∞
I
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fn
I
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Conclusiones
Conclusiones
Es importante que los estudiantes de matemáticas en el ámbito de la
educación superior conozcan los diferentes desarrollos que se dan en
una teoría matemática, en particular, la teoría de la integración.
A pesar de lo cercana e intuitiva que resulta la teoría de la integración
de Riemann, en algunos aspectos, se hace necesario generalizarla,
pues el enfoque Riemanniano tiene algunas limitaciones, que conducen a teorías más fuertes como la de Stieltjes y la de Lebesgue.
Las teorías de la integración de Stieltjes y Lebesgue contienen como
casos particulares la teoría de Riemann.
Diego Acosta Álvarez
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Bibliografía
Apostol, T. (1976)
Análisis Matemático. Barcelona: Reverté S.A.
Bartle, R y Sherbert, D. (2005).
Introducción al Análisis Matemático de un variable. México,
D.F.: Limusa S.A.
Ulayánov, P y Dyachenko, M. (2000).
Análisis Real: Medida e Integración. Madrid: Addison Wesley
Iberoamericana.
Diego Acosta Álvarez
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