Resumen de Funciones, Derivadas e Integrales 1. Funciones Las funciones son relaciones entre dos conjuntos, donde a cada elemento del primer conjunto le corresponde uno y solo un elemento del segundo conjunto. Se representan como f(x) y se clasifican en lineales, cuadráticas, exponenciales, entre otras. Propiedades: - Dominio: Conjunto de valores de entrada. - Rango: Conjunto de valores de salida. 2. Derivadas La derivada mide la tasa de cambio instantáneo de una función. Existen derivadas explícitas (cuando la función está despejada) e implícitas (cuando no lo está). Reglas principales: - Regla del producto: (u * v)' = u' * v + u * v'. - Regla del cociente: (u / v)' = (u' * v - u * v') / v^2. - Derivada de una constante: c' = 0. 3. Integrales Resumen de Funciones, Derivadas e Integrales La integral es la operación inversa de la derivada. Se clasifica en definida (con límites) e indefinida (sin límites). Propiedades: - Linealidad: La integral de la suma de funciones es la suma de sus integrales. - Integral de una constante: La integral de una constante c es igual a c*x más una constante de integración. 4. Límites El límite describe el comportamiento de una función a medida que la variable independiente se aproxima a un valor específico. Propiedades principales: - Límite de suma: El límite de la suma de dos funciones es igual a la suma de los límites de cada función. - Límite de producto: El límite del producto de dos funciones es igual al producto de los límites de cada función. Ejercicios y Problemas 1. Deriva y encuentra los puntos críticos de f(x) = 3x^3 - 6x^2 + 2. 2. Calcula la integral indefinida de (2x^2 + 3x + 1)dx. 3. Resuelve el límite de sin(x)/x cuando x tiende a 0. 4. Problema aplicado: El crecimiento de una población de bacterias está dado por N(t) = 100e^(0.5t). Calcula Resumen de Funciones, Derivadas e Integrales la velocidad de cambio en t=2. Soluciones 1. La derivada es f'(x) = 9x^2 - 12x. Los puntos críticos son x=0 y x=4/3. 2. La integral indefinida es (2/3)x^3 + (3/2)x^2 + x + C. 3. El límite de sin(x)/x cuando x tiende a 0 es 1. 4. Derivando N(t), obtenemos N'(t) = 50e^(0.5t). Evaluando en t=2, la velocidad de cambio es 50e.
