Cálculo III
Semana #8
Profesor. Esteban Bermúdez Moya
Integración Múltiple (Integrales Iteradas)
Integrales Dobles Indefinidas: Una integral doble básicamente es la integral de otra integral cuyo integrando es
una función 𝑓 (𝑥, 𝑦) (en dos variables reales)
Se tiene:
Orden 𝒅𝒙𝒅𝒚
primi
S
Orden 𝒅𝒚𝒅𝒙
∬ 𝑓(𝑥, 𝑦)𝑑𝑥𝑑𝑦 = ∫ [∫ 𝑓 (𝑥, 𝑦)𝑑𝑥] 𝑑𝑦
Ejemplo #1
∬ 𝑦𝑒 𝑥 𝑑𝑦 𝑑𝑥
∬ 𝑓 (𝑥, 𝑦)𝑑𝑦𝑑𝑥 = ∫ [∫ 𝑓 (𝑥, 𝑦)𝑑𝑦] 𝑑𝑥
_Le
He
tanda
hoydx
d
Ejemplo #2
∬[𝑦 3 𝑒 2𝑥 − 𝑦𝑠𝑒𝑛(2𝑥𝑦)]𝑑𝑥 𝑑𝑦
E
12 sena
1
7
7
9
hapdy
ShaldstC
ey
sencijitfhadytf
Integrales Triples Indefinidas
Una integral triple se integra en tres etapas, de adentro hacia afuera. El integrando es una función 𝑓 (𝑥, 𝑦, 𝑧)
(en tres variables)
Orden 𝒅𝒙𝒅𝒚𝒅𝒛
Orden 𝒅𝒙𝒅𝒛𝒅𝒚
Orden 𝒅𝒚𝒅𝒙𝒅𝒛
Orden 𝒅𝒚𝒅𝒛𝒅𝒙
Orden 𝒅𝒛𝒅𝒙𝒅𝒚
Orden 𝒅𝒛𝒅𝒚𝒅𝒙
∭ 𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧)𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧
∭ 𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧)𝑑𝑥𝑑𝑧𝑑𝑦
∭ 𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧)𝑑𝑦𝑑𝑥𝑑𝑧
∭ 𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧)𝑑𝑦𝑑𝑧𝑑𝑥
∭ 𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧)𝑑𝑧𝑑𝑥𝑑𝑦
∭ 𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧)𝑑𝑧𝑑𝑦𝑑𝑥
Ejemplo #1
T.EE
IYIameitoaz
∭(𝑥 + 2𝑦 − 𝑧)𝑑𝑦𝑑𝑥𝑑𝑧
f
y
XY
Zythaydxdz
z
x
d
haz
79
xp
5
g
2
dz
LEI.it
HmddzGdzt
Ejemplo #2
∭ 𝑥𝑐𝑜𝑠(𝑦 + 𝑧)𝑑𝑧𝑑𝑦𝑑𝑥
HEztfydydx
xcoslytzltffcxildythextfd
Xacoslstz.lt ffcxildydxtfhandx
C
Integrales Dobles Definidas sobre un rectángulo
Si 𝑓(𝑥, 𝑦) es una función continua definida en un rectángulo R, donde
𝑅 = {(𝑥, 𝑦) ∈ ℝ2 / 𝑎 ≤ 𝑥 ≤ 𝑏 , 𝑐 ≤ 𝑦 ≤ 𝑑 }
Se tiene que
𝑏
𝑑
𝑏
𝑑
∫ ∫ 𝑓 (𝑥, 𝑦)𝑑𝑦𝑑𝑥 = ∫ [∫ 𝑓(𝑥, 𝑦)𝑑𝑦] 𝑑𝑥
𝑎
𝑐
𝑑
𝑎
𝑏
𝑑
𝑐
𝑏
∫ ∫ 𝑓 (𝑥, 𝑦)𝑑𝑥𝑑𝑦 = ∫ [∫ 𝑓(𝑥, 𝑦)𝑑𝑥] 𝑑𝑦
𝑐
𝑎
𝑐
𝑎
Teorema de Fubini
Sea 𝑓 una función contínua en el rectángulo 𝑅 = {(𝑥, 𝑦) ∈ ℝ2 / 𝑎 ≤ 𝑥 ≤ 𝑏 , 𝑐 ≤ 𝑦 ≤ 𝑑} , se tiene que
𝑏
𝑑
𝑑
𝑏
∬ 𝑓(𝑥, 𝑦)𝑑𝐴 = ∫ ∫ 𝑓(𝑥, 𝑦)𝑑𝑦𝑑𝑥 = ∫ ∫ 𝑓(𝑥, 𝑦)𝑑𝑥𝑑𝑦
𝑎
𝑐
𝑐
𝑎
𝑅
Ejemplo #1
Calcule la integral iterada
3
1
∫ ∫ √𝑥 + 𝑦 𝑑𝑥𝑑𝑦
0
0
So
LEE dxdy
Además, invierta el orden de integración para demostrar el teorema de Fubini
S
31
S
472
1 91
I
dy
0
4
Orden dydx
Si
extyfdydx
dy
4,11
So Ex
y
Si 1
31
dx
9 0
07 dx
4,11
TsdelPortafoliot
Extremos de funciones en
varias
variables
Integrales múltiples indefinidas
donde la
definidas
y
rectángulo
región
es
un
14
Ejemplo #2
Considere la integral iterada
R
∬(𝑥 − 3𝑦)𝑑𝐴
𝑅
Donde 𝑅 = {(𝑥, 𝑦) ∈ ℝ2 / 0 ≤ 𝑥 ≤ 2 , 1 ≤ 𝑦 ≤ 2}
DX
1
a) Dibuje la región de integración.
b) Plantee y calcule la integral doble.
orden
dydx
39
dydx
Soy 37
dx
xa
3
2
67
1 1
S
1
3
3
dx
da
S.lt
dx
a
Integrales Dobles Definidas sobre regiones generales
dydx
dxdy
Región tipo 1
Los límites de integración en “x” son numéricos y en
“y” son funciones en términos de “x”
Región tipo 2
Los límites de integración en “y” son numéricos y en
“x” son funciones en términos de “y”
𝑅 = {(𝑥, 𝑦) ∈ ℝ2 / 𝑎 ≤ 𝑥 ≤ 𝑏 , 𝑓(𝑥) ≤ 𝑦 ≤ 𝑔(𝑥)}
𝑅 = {(𝑥, 𝑦) ∈ ℝ2 / 𝑓(𝑦) ≤ 𝑥 ≤ 𝑔(𝑦) , 𝑐 ≤ 𝑦 ≤ 𝑑 }
Da
Ejemplo #1
Considere la integral
1
4−𝑥 2
∫ ∫
0
6𝑥 2 𝑦 𝑑𝑦𝑑𝑥
3𝑥
a) Dibuje la región de integración.
b) Plantee y calcule la integral doble cambiando el orden de integración
R
Xi
y
3
ER
3
4
4 7210 2
9 4 12
511
1
0
4
4
AY
2
4
y
Ey
FE
1º
it
47T
Cambio de orden de integración
las funciones de fin
Cambiar
y
la
replantear
y
región de integración
fly
a
nueva
4
3
f
coxydxdy
Oxydxdytf
LEY
Ey
30
a
f
6ᵗʰ
yo
49
2101 dy
dy
Si
dy G 2 39 1
dy
i
f
IYIdy
S
I
31
CFyly
13 dg
3,673,94
3
3,94
7,540
is dy
Ejemplo #2
Considere la integral
∫ ∫(𝑥 + 2𝑦)𝑑𝐴
𝑅
Donde 𝑅 está limitada por las curvas 𝑦 = 2𝑥 2 , 𝑦 = 1 + 𝑥 2
a) Dibuje la región de integración.
b) Plantee y calcule la integral doble
Nota Importante:
Según la propiedad 4, en una integral doble, cuando el integrando es específicamente 1, se dice que el resultado de ∬
corresponde al área de la región R.
𝑅
Ejemplo #3
Planteando integrales dobles de tipo 1, calcule el área de la región R que se muestra en la siguiente imagen
Tipo 1
𝑑𝐴
Tipo 2
Ejemplo #4
Considere la integral
2
3𝑥+1
∫ ∫
1
𝑑𝑦𝑑𝑥
2𝑥
a) Dibuje la región de integración.
b) Plantee y calcule la integral doble cambiando el orden de los límites de integración.
Ejemplo #5
Considere la integral
2
2
∫ ∫
0
𝑦
1+
4
[cos (𝑥 2 − 2𝑥)]𝑑𝑥𝑑𝑦
a) Dibuje la región de integración.
b) Calcule la integral doble (tipo 1)
Ejercicio para el portafolio
Dibuje la región de integración y calcule la integral
2
8−𝑦 2
4
∫ ∫2
0
𝑦
4
𝑥𝑑𝑥𝑑𝑦
fly
2 5
93
43
tasen s
9
7 7
352105171
7,7
os1s tf15xy2 f6sc
6x
5yf.lt
2f
f
5M
z
x
yz
7
2
32
371
1
112,1
2,31 6
321
2.11 3.1
INHOFE
1I
1,2
7
111,81
ÑOF
TF
41,81
yz
8
97
72
187 1.872 1.18 8
4 648
64
64
649787 641
6427
64782
64178.8
