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Derivadas de funciones trigonométricas y sus inversas
Las funciones trigonométricas se definen a partir de un triángulo rectángulo como sigue:
r
y
α
x
3 sin α =
y
r
3 cos α =
x
r
3 tan α =
y
x
3 csc α =
r
y
r
x
x
3 cot α =
y
3 sec α =
Como puedes ver, estas funciones que caracterizan a un ángulo dado α.
Sin embargo, al definirlas así, da la impresión que el dominio de estas funciones, es decir, los
valores de los ángulos α que pueden tomar como argumento estas funciones está en el intervalo
(0, 180). Esto no es así.
Las funciones trigonométricas se definen más correctamente a través de una circunferencia de
radio r, de manera que podemos dar a α cualquier valor real.
r
r
y
α
−r
x
r
Observa que, en el caso particular para r = 1, las funciones cos α y sin α son iguales a x e y
respectivamente.
En esta sección nuestra tarea consiste en encontrar las reglas de derviación para las seis funciones
trigonométricas.
−r
Calcula la regla de derivación para la función:
y = sin x
• Debemos aplicar la regla de los cuatro pasos para deducir la regla.
• Paso 1:
y + ∆y = sin( x + ∆x )
• Paso 2:
∆y
= sin( x + ∆x ) − sin x
= sin x cos(∆x ) + cos x sin(∆x ) − sin x
donde hemos utilizado una identidad trigonométrica1 .
1 Puedes
buscarla en cualquier libro de trigonometría: sin( x + y) = sin x cos y + cos x sin y
Efraín Soto A.
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Ejemplo
1
2
• Paso 3:
∆y
∆x
sin x cos(∆x ) + cos x sin(∆x ) − sin x
∆x
sin(∆x )
1 − cos(∆x )
cos x ·
− sin x ·
∆x
∆x
=
=
• Paso 4:
dy
dx
=
lim
∆x →0
∆y
∆x
sin(∆x )
1 − cos(∆x )
− sin x ·
∆x
∆x
∆x →0
sin(∆x )
1 − cos(∆x )
lim cos x ·
− lim sin x ·
∆x
∆x
∆x →0
∆x →0
sin(∆x )
1 − cos(∆x )
cos x · lim
− sin x · lim
∆x
∆x
∆x →0
∆x →0
=
=
=
lim
cos x ·
• Ya sabemos que el primer límite de la expresión anterior es igual a 1.
• Pero el otro límite:
lim
∆x →0
1 − cos(∆x )
∆x
calcularlo2 .
no. Así que vamos a
1 − cos(∆x )
lim
∆x
∆x →0
1 + cos(∆x )
lim
·
1 + cos(∆x )
∆x →0
1 − cos2 (∆x )
lim
∆x →0 (1 + cos( ∆x ))( ∆x )
!
sin2 (∆x )
lim
∆x →0 (1 + cos( ∆x ))( ∆x )
sin(∆x )
sin(∆x )
·
lim
∆x
∆x →0 1 + cos( ∆x )
=
=
=
=
1 − cos(∆x )
∆x
• Pero el límite de un producto se puede expresar como el producto de los límites, entonces:
1 − cos(∆x )
sin(∆x )
sin(∆x )
lim
= lim
· lim
∆x
∆x
∆x →0
∆x →0 1 + cos( ∆x )
∆x →0
• Cuando ∆x tiende a cero, sin(∆x ) también tiende a cero, mientras que 1 + cos ∆x tiende a 1.
• Entonces,
lim
∆x →0
1 − cos(∆x )
∆x
=
0
=0
1
• Y la regla para derivar la función y = sin x es:
dy
sin(∆x )
1 − cos(∆x )
= cos x · lim
− sin x · lim
dx
∆x
∆x
∆x →0
∆x →0
= (cos x )(1) − (sin x )(0)
= cos x
2 Aquí
también usamos otra identidad: sin2 x + cos2 x = 1.
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3
• Entonces,
d(sin x )
= cos x
dx
Calcula la regla de derivación para la función:
y = cos x
Ejemplo
2
• Paso 1: Utilizamos otra identidad trigonométrica:
y + ∆y = cos( x + ∆x ) = cos x cos(∆x ) − sin x sin(∆x )
• Paso 2:
∆y
= cos x cos(∆x ) − sin x sin(∆x ) − cos x
= cos x · [cos(∆x ) − 1] − sin x sin(∆x )
= − cos x · [1 − cos(∆x )] − sin x sin(∆x )
• Paso 3:
∆y
∆x
− cos x · [1 − cos(∆x )] − sin x sin(∆x )
∆x
1 − cos(∆x )
sin(∆x )
= − cos x ·
− sin x ·
∆x
∆x
sin(∆x )
1 − cos(∆x ) 1 + cos(∆x )
·
− sin x ·
= − cos x ·
∆x
1 + cos(∆x )
∆x
2
1 − cos (∆x )
sin(∆x )
= − cos x ·
− sin x ·
(∆x ) [1 + cos(∆x )]
∆x
=
sin(∆x )
sin2 (∆x )
− sin x ·
(∆x ) [1 + cos(∆x )]
∆x
sin(∆x )
sin(∆x )
sin(∆x )
− cos x ·
·
− sin x ·
∆x
1 + cos(∆x )
∆x
= − cos x ·
=
• Paso 4:
dy
dx
=
lim
∆x →0
∆y
∆x
sin(∆x )
sin(∆x )
sin(∆x )
− cos x · lim
· lim
− sin x · lim
∆x
∆x
∆x →0
∆x →0 1 + cos( ∆x )
∆x →0
−(cos x ) · (1) · (0) − (sin x ) · (1)
=
=
= − sin x
• Entonces,
d(cos x )
= − sin x
dx
Calcula la regla de derivación para la función:
y = tan x
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Ejemplo
3
4
• Aquí usaremos la identidad trigonométrica:
tan x =
sin x
cos x
y la regla para derivar el cociente de dos funciones.
• Para eso definimos: f ( x ) = sin x, y g( x ) = cos x.
• Sus derivadas son conocidas ahora, f 0 ( x ) = cos x, y g0 ( x ) = − sin x.
• Sustituyendo estos valores en la regla para derivar al cociente sin x/ cos x obtenemos:
dy
dx
=
=
=
=
cos x cos x − sin x (− sin x )
cos2 x
2
cos x + sin2 x
cos2 x
1
cos2 x
sec2 x
• Entonces,
d(tan x )
= sec2 x
dx
Ejemplo 4
Calcula la derivada de la función: y = sec x.
• Usaremos la identidad trigonométrica:
sec x =
1
cos x
y la regla para derivar el cociente de dos funciones.
• Para eso definimos: f ( x ) = 1, y g( x ) = cos x. Luego, f 0 ( x ) = 0, y g0 ( x ) = − sin x
• Sustituyendo estos valores en la regla para derivar el cociente obtenemos:
dy
dx
=
=
(cos x ) · (0) − (1) · (− sin x )
cos2 x
sin x
1
sin x
=
·
= sec x tan x
cos x cos x
cos2 x
• Entonces,
d(sec x )
= sec x tan x
dx
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Ejemplo
5
Calcula la derivada de la función: y = csc x.
• Ahora utilizaremos la identidad:
csc x =
1
sin x
• Definiendo f ( x ) = 1 y g( x ) = sin x, tenemos que f 0 ( x ) = 0 y g0 ( x ) = cos x.
• Sustituyendo en la regla para la derivada de un cociente de dos funciones, obtenemos:
dy
dx
(sin x ) · (0) − (1) · (cos x )
sin2 x
− cos x
cos x
1
=
·
=−
sin x sin x
sin2 x
= − csc x cot x
=
• Entonces,
d(csc x )
= − csc x cot x
dx
Calcula la derivada de la función:
Ejemplo
6
y = cot x
• Utilizaremos la identidad:
cot x =
cos x
sin x
• Definiendo: f ( x ) = cos x, g( x ) = sin x, se sigue: f 0 ( x ) = − sin x, g0 ( x ) = cos x.
• Sustituyendo en la regla de derivación correspondiente obtenemos:
dy
dx
=
=
=
(sin x ) · (− sin x ) − (cos x ) · (cos x )
sin2 x
2
2
− sin x − cos x
sin2 x
−1
= − csc2 x
sin2 x
• Luego,
d(cot x )
= − csc2 x
dx
Más adelante utilizaremos las reglas de derivación que hemos deducido en esta sección para
derivar funciones trigonométricas.
Por ahora solamente es importante que sepas que existen.
Hay otras funciones que se llaman trigonométricas inversas.
Por ejemplo y = arcsin x es la función inversa de y = sin. Algunas veces se escribe también como
y = sin−1 x para enfatizar que se trata de la función inversa de la función seno.
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Es importante hacer notar que el super-índice −1 no es un exponente, sino un índice para aclarar
que se trata de la función inversa. Es decir:
sin−1 x 6=
1
sin x
sin−1 x = arcsin x
sino
En palabras, arcsin x es la medida del ángulo (en radianes) en el intervalo de (−π/2, π/2) cuyo
seno es x.
√
√
Por ejemplo, el seno de π/4 radianes es 2/2. Entonces, arcsin( 2/2) = π/4.
De manera semejante se definen las otras funciones trigonométricas inversas: arccos x, arctan x,
arccot x, arcsec x y arccsc x.
Las reglas para derivar las funciones trigonométricas inversas se dan enseguida sin demostración:
d(arcsin x )
dx
d(arccos x )
dx
d(arctan x )
dx
d(arccsc x )
dx
d(arcsec x )
dx
d(arccot x )
dx
=
=
=
=
=
=
√
1
1 − x2
1
−√
1 − x2
1
1 + x2
1
− √
x x2 − 1
1
√
x x2 − 1
1
−
1 + x2
Créditos
Albert
Einstein
Todo debe hacerse tan simple como sea posible, pero no más.
Este material se extrajo del libro Matemáticas V escrito por Efraín Soto Apolinar. La idea es compartir estos trucos para que más gente se enamore de las matemáticas, de ser posible, mucho más
que el autor.
Autor: Efraín Soto Apolinar.
Edición: Efraín Soto Apolinar.
Composición tipográfica: Efraín Soto Apolinar.
Diseño de figuras: Efraín Soto Apolinar.
Productor general: Efraín Soto Apolinar.
Año de edición: 2010
Efraín Soto A.
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Año de publicación: Pendiente.
Última revisión: 01 de agosto de 2010.
Derechos de autor: Todos los derechos reservados a favor de Efraín Soto Apolinar. México. 2010.
Espero que estos trucos se distribuyan entre profesores de matemáticas de todos los niveles y sean
divulgados entre otros profesores y sus alumnos.
Este material es de distribución gratuita.
Profesor, agradezco sus comentarios y sugerencias a la cuenta de correo electrónico:
[email protected]
Efraín Soto A.
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