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Ing. Mario R. Modesti
UNIVERSIDAD TECNOLOGICA NACIONAL
FACULTAD REGIONAL CORDOBA
DEPARTAMENTO ELECTRONICA
Carrera
Asignatura
: Ingeniería Electrónica
: Análisis de Señales y Sistemas
T.P.N 10 : Series y transformada de Fourier, Transformada inversa de
Fourier, aplicaciones en señales de uso en comunicaciones y control.
Rev 1.2 Enero 2001
Serie trigonométrica de Fourier
f(t) = a0 + a1 Cos ϖt + a 2 Cos 2ϖt + a 3 Cos 3ϖt +....
+ b1 Sen ϖt + b2 Sen 2ϖt + b3 Sen 3ϖt +.....
T
T
1 2
1
a0 = ∫ f (t ) dt = ∫ f (t ) dt
T −T
T0
2
T
T
2 2
2
an = ∫ f(t) Cos nϖ t dt = ∫ f(t) Cos nϖ t dt
T −T
T0
2
T
2 2
2
bn = ∫ f(t) Sen nϖ t dt =
T −T
T
2
T
∫ f(t) Sen nϖ t dt
0
MATHEMATICA
Serie exponencial de Fourier
10. 1
Ing. Mario R. Modesti
f(t) = F0 + F1 e Jϖt + F2 e J 2ϖt + F3 e J 3ϖt +....+ Fn e Jnϖt +.....
+ F−1 e − Jϖt + F−2 e − J 2ϖt + F3 e − J 3ϖt +.....+ F− n e − Jnϖt +.....
∞
f(t) =
∑Fe
Jnϖt
para (t 0 < t < t 0 + T )
n
n=- ∞
t0 + T
Fn =
∫ f(t)(e
t0
t0 + T
∫e
Jnv t
Jnω t
)* dt
(e Jnϖ t )* dt
1 t +T
=
f(t)e − Jnω t dt
∫
T t
0
0
t0
MATHEMATICA
Relación de coeficientes entre la serie trigonométrica y exponencial
a 0 = F0
a n = Fn + F− n
bn = J ( Fn + F− n )
Fn =
1
( a n + Jbn )
2
Espectro de frecuencias de Fourier
10. 2
Ing. Mario R. Modesti
T
F(ϖ ) =
2
∫ f(t)
1 ∞
f(t) = ∑ F (ϖ )e Jnϖ t
T n =−∞
e -Jnϖ t dt
−T 2
Transformada de Fourier
1
f (t ) =
2π
∞
∫ F (ϖ ) e
Jϖ t
∞
F (ϖ ) =
dϖ
∫ f (t ) e
−Jϖ t
dt
−∞
−∞
La función F(ϖ ) es la densidad espectral , y otro modo de expresar las
transformadas es:
∞
[ f (t )] = ∫ f (t ) e
−Jϖ t
dt
−1
−∞
1
[ F (ϖ )] = 2π
∞
∫ F (ϖ ) e
Jϖ t
dϖ
−∞
MATHEMATICA
APLICACIONES
10.1) Hallar los coeficientes de Fourier correspondientes a la función , y la serie
correspondiente.
0 − 5 < x < 0
F(x) = 
3 0< x <5
Periodo = 10
10. 3
Ing. Mario R. Modesti
T
0
5
 1 5
2
2
 nπ
an = ∫ f (t )Cos (nϖt )dt =  ∫ 0 + ∫ 3 Cos(nϖt )dt  =  ∫ 3 Cos 
T0
10  − 5
 5
0
 5 0
 
t dt  =
 
Resolución analítica
2π π
=
T
5
ϖ =
u=
nπ
nπ
t ∴ du =
t
5
5
5
1
5
3
3
 nπ 
 nπ 
an = ∫ 3
Cos 
t dt =
Sen 
t =
[Sen 0 − Sen π ] = 0
nπ
5 0 nπ
 5 
 5  0 nπ
5
an = 0
bn =
2
T
T
∫
f (t ) Sen(nϖt )dt =
0
n≠0
0
5
 1 5
2 
 nπ
ϖ
0
+
3
Sen
n
t
dt
=
3
Sen
(
)

∫


∫
10 −5 ∫0
 5
 5 0
 
t dt  =
 
5
1
5
3
3
 nπ 
 nπ 
bn = ∫ 3 Sen t dt = Cos t  = [− Cos(nπ ) + Cos0] =
5 0 nπ
nπ
 5 
 5  0 nπ
5
bn =
3
[1 − Cos (nπ )]
nπ
1
a0 =
T
T
∫
0
0
5
 1 5 1
1 
3
f (t ) dt =  ∫ 0 + ∫ 3 dt  = 3t 0 = 3(5 − 0) =
10  −5
10
2
0
 10
Mathematica
10. 4
Ing. Mario R. Modesti
10.2) Desarrollar F ( x ) = x 2
0 < x < 2π en serie de Fourier
a - Si el período es 2π
b- Si el período no se especifica
40
30
20
10
5
10
15
20
25
10. 5
Ing. Mario R. Modesti
10.3) Se define una función rectangular f(t) a continuación
 1 0<t <π
F (t ) = 
−1 π < t < 2π
Aproximar esta función mediante la forma de onda sen t, en el intervalo ( 0,2π ) de
modo que el error cuadrático medio sea mínimo
f ( t ) = Sen t
Considerando la función rectangular, demostrar que puede obtenerse una
aproximación mejor mediante una gran cantidad de funciones mutuamente
ortogonales.
10.4) Desarrollar
f ( t ) = Sen t , 0 < t < π en serie de Fourier trigonométrica
10. 6
Ing. Mario R. Modesti
10.5) Considerar la onda seno rectificada ( onda completa ), correspondiente a
una función del tipo
exponencial
f ( t ) = Sen t , 0 < t < π , desarrollar en serie de Fourier
10.6) Considersr la función periódica
f (t ) en 0 < t < π y determinar el espectro
de frecuencias de la función
f(t ) = Sen t .
10. 7
Ing. Mario R. Modesti
10.7) Desarrollar
seno.
10.8) Desarrollar
coseno.
f (x) = x , 0 < x < 2
en serie de semiperíodo función
f (x) = x , 0 < x < 2
en serie de semiperíodo función
10.9) Hacer la gráfica y desarrollar en serie de Fourier trigonométrica
8
F(x) = 
 −8
0<x<2
2<x<4
Periodo = 4
10.10) Hacer la gráfica y desarrollar en serie de Fourier trigonométrica
− x
F (x ) = 
x
−4≤ x ≤0
0≤x≤4
Periodo = 8
10.11) Desarrollar en serie de Fourier de período 8
2 − x
F(x) = 
x − 6
0< x<4
4<x<8
Periodo = 8
10.12) Calcular los coeficientes
representa en período 2 π .
a 0 , a n , bn
de la serie trigonométrica que
a) F(t) = Sen t
b) F(t)= Cos t
10.13) Desarrollar en serie de Fourier trigonométrica
x
F(x) = 
8 − x
0< x<4
4<x<8
10.14) Graficar la función extendida periodicamente con período 2π y hallar su
transformada de Fourier.
10. 8
Ing. Mario R. Modesti
 sent 0 < t < π
F(t) = 
π < t < 2π
 0
 A 0<t <T / 2
f(t)= 
,
 0 −T / 2 < t < 0
10.15) Dada una onda cuadrada periódica
determinar
a) El espectro de frecuencias
b) F(w)
c) la función f(t)
T
F(ϖ ) =
2
∫ f(t) e
−T
- Jnϖ t
dt =
2
=A∫ e
∫
−T
2
T
T
0
0e
0
dt +
A
dt = −
Jnϖ
2
∫A
e - Jnϖ t dt =
0
2
T
- Jnϖ t
- Jnϖ t
2
∫
[
A
e- Jnϖ t
Jnϖ
e - Jnϖ t dt = −
0
]
T
2
0
=
T

A  - Jnϖ 2
A - Jnπ
=−
− 1 = J
e
−1
e
Jnϖ 
n
ϖ

[
1
f(t) =
T
∞
∑ F(ϖ )e
n = −∞
Jnϖ t
1
=
T
∞
]
[
]
 A
- Jnp
Jnϖ t 
J
e
−
1
e
∑



n = −∞  nϖ
10.16) Desarrollar la función rectificada media onda en serie de Fourier
 Sen t
f (t ) = 
0

trigonométrica
0< t <π
π < t < 2π
10.17) Considerar la onda seno rectificada ( media onda), correspondiente a una
función del tipo
 Sen t
f (t ) = 
0

0< t <π
π < t < 2π ,
desarrollar en serie de
Fourier exponencial
10.18) Determinar el espectro de frecuencias de la función precedente.
10. 9
Ing. Mario R. Modesti
10.19) Evaluar la transformada de Fourier de la señal exponencial unilateral (a= 2)
− at
f(t) = e u(t)
∞
F( ? ) = ∫ e −at e −Jϖ t dt = −
0
F(s) =
1
1
(e −∞ − e 0 ) =
2 + J?
2 + J?
1
s+2
MATLAB
a=[1,2];
b=[1];
w=-50:.05:50;
% Coeficientes del denominador en orden decreciente
% Coeficientes del numerador
% Rango de frecuencia en rad/s
H=freqs(b,a,w);
mag=abs(H);
fase = angle(H);
axis([-50,50,0,.5]);
figure (1);
plot(w,mag);
title(‘ Espectro de frecuencias ( magnitud)');
xlabel('frecuencia, rad/s');
ylabel('magnitud');
grid;
figure(2);
10. 10
Ing. Mario R. Modesti
fase =fase*180/pi;
% Cambio de fase de radianes a grados
axis([-50,50,-200,200]);
plot(w,fase);
title('Respuesta en frecuencia (fase)');
xlabel('frecuencia, rad/s');
ylabel('fase, degrees');
grid;
axis;
0.5
100
0.45
80
0.4
60
0.35
40
0.3
20
0.25
0
0.2
-20
0.15
-40
0.1
-60
0.05
0
-50
-80
-40
-30
-20
-10
0
10
20
30
40
50
-100
-50
-40
-30
-20
-10
0
10
20
30
40
MATHEMATICA
10.20) Evaluar la transformada de Fourier de la señal exponencial bilateral
10. 11
50
Ing. Mario R. Modesti
f (t ) = e− a t
10.21) Evaluar la función pulso rectangular como se define a continuación

1
f(t) = 
0

T
2
T
t >
2
t <
10.22) Evaluar la transformada de Fourier de un impulso y de una constante.
10.23) Transformada de la función signum , f(t)=sgn(t).
10.24) Determinar la serie de Fourier trigonométrica , la serie exponencial y
deducir el espectro de frecuencias de la función definida a continuación.
f (θ ) = θ para − π ≤ θ ≤ π
10. 12
Ing. Mario R. Modesti
10.25) Determinar la serie de Fourier de :
 1

f(t) = 
0

−1 < t < 1
 −2 < t ≤ − 1

 1≤t <2
10. 13
Ing. Mario R. Modesti
Referencias :
Señales y sistemas
lan V. Oppenheim - Alan S.Willsky
Prentice Hall
Mathematica
MatLab
GrapMath
3.0
5.0
1.30C
10. 14