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TRANSFORMADAS DE FOURIER
Señales
∞
∑ ak ⋅ e
jk
2π
t
T0
∞
=
k = −∞
Transformada de Fourier
2π
∑ x p (t − kT0 )
∞
∑a
k = −∞
k = −∞
k
⋅ δ (ω − k
Coeficientes de la serie de Fourier
(si son periódicas)
2π
)
T0
 2π 

X p  jk
T0 

ak =
T0
2πδ (ω − ω0 )
e jω0t
a1 = 1
ak = 0
π (δ (ω − ω0 ) + δ (ω + ω0 ) )
cos(ω0t )
; k ≠1
a1 = a−1 = 1 / 2
ak = 0
π
sen (ω0t )
j
ak = 0
2πδ (ω )
;
e
∞
∑δ (t − kT )
k = −∞
t < T1
t > T1
,
,
Onda cuadrada periódica
1
x p (t ) = 
0
x (t ) =
,
,
∞
∑x
k = −∞
p
; k ≠0
1
δ ( t − t0 )
1
x (t ) = 
0
k ≠1
a0 = 1
ak = 0
δ (t )
k ≠1
a1 = − a−1 = 1 /(2 j )
(δ (ω − ω0 ) − δ (ω + ω0 ) )
x (t ) = 1
;
t < T1
t > T1
(t − kT0 )
sen (Wt ) W
 Wt 
= sinc 
πt
π
π 
− jωt0
2π
2π
δ (ω −
k)
∑
T k = −∞
T
2 sen (ωT1 )
 ωT 
= 2T1 sin c 1 
ω
 π 
∞
2 sen (kω0T1 )
δ (ω − kω0 )
k
k = −∞
2π
ω0 =
T0
∞
∑
1
X ( jω ) = 
0
,
,
e − at u(t )
Re{a} > 0
1
a + jω
te − at u(t )
Re{a} > 0
1
(a + jω )2
t n −1 −at
e u(t )
( n − 1)!
Re{a} > 0
u(t )
1
(a + jω )n
ω <W
ω >W
 1
, ω≠0

X ( jω ) =  jω
πδ (ω ) , ω = 0
ak =
ak =
1
T
∀k
sen (kω0T1 ) ω0T1
 kω T 
=
sinc 0 1 
πk
π
 π 
2π
ω0 =
T0
PROPIEDADES DE LA TRANSFORMADA DE FOURIER
Señal
Transformada de Fourier
X ( jω )
Y ( jω )
a ⋅ X ( jω ) + b ⋅ Y ( jω )
x (t )
y (t )
a ⋅ x (t ) + b ⋅ y (t )
x ( t − t0 )
X ( jω ) ⋅ e − jω t0
X ( j (ω − ω0 ))
e jω0t ⋅ x (t )
x ∗ (t )
x ( −t )
x (at )
X * ( − jω )
X ( − jω )
1
ω
X( j )
a
a
X ( jt )
x ( t ) ∗ y (t )
x (t ) y (t )
2π x( −ω )
X ( jω ) ⋅ Y ( jω )
1
X ( jω ) ∗ Y ( jω )
2π
jω X ( jω )
dx(t )
dt
∫
t
−∞
1
X ( jω ) + πX (0)δ (ω )
jω
dX ( jω )
j
dω

X ( jω ) = X ∗ ( − jω )

 Re{X ( jω )} = Re{X ( − jω )}
 Im{X ( jω )} = − Im{X ( − jω )}

X ( jω ) = X ( − jω )

arg ( X ( jω ) ) = − arg ( X ( − jω ) )
x (τ ) dτ
t x (t )
x (t )
∫
<T0 >
real
x (τ ) y (t − τ ) dτ
2π
∞
2π
∑ (T a b ) δ (ω − k T
k = −∞
0
k k
x(t) e y(t) periódicas de periodo T0
Relación de Parseval para señales aperiódicas
∫
∞
−∞
x (t ) dt =
2
1
2π
∫
∞
−∞
X ( jω ) dω
2
Relación de Parseval para señales periódicas
1
T0
∫
<T0 >
x(t ) dt =
2
∞
∑a
k = −∞
2
k
0
)
TRANSFORMADAS DE LAPLACE
Señales
Transformada de Laplace
Región de Convergencia (ROC)
δ (t )
Todo el plano s
t n −1 −at
e u(t )
( n-1)!
1
1
s
1
s
1
s+a
1
s+a
1
(s + a )2
1
(s + a )2
1
(s + a )n
t n −1 − at
e u ( −t )
( n-1)!
1
(s + a )n
u(t )
− u ( −t )
e − at u(t )
− e − at u ( −t )
t e − at u(t )
− t e − at u( −t )
−
d nδ ( t )
dt n
u ( t ) ∗ u ( t ) ∗L ∗ u ( t )
n veces
t x (t )
Re{s} > 0
Re{s} < 0
Re{s} > − Re{a}
Re{s} < − Re{a}
Re{s} > − Re{a}
Re{s} < − Re{a}
Re{s} > − Re{a}
Re{s} < − Re{a}
Todo el plano s
s
n
1
sn
dX ( s )
−
ds
Re{s} > 0
ROC de x