INSTITUTO POLITÉCNICO NACIONAL Escuela Superior de Ingenierı́a Mecánica y Eléctrica Academia de Matemáticas - VARIABLE COMPLEJA Y TRANSFORMADAS FOURIER Y Z Guı́a de estudios para examen ets 2023-1 Miércoles, 18/ENE/2023 VARIABLE COMPLEJA 1. Para la función u(x, y), verifica si es armónica si es armónica, encuentra su función armónica conjugada escribe la función holomorfa(analı́tica) f (z) con los resultados anteriores determina la derivada de f (z) y evalua en z0 = ei π evalua la función g(z0 ) para z0 = 2 e−i π/2 ; si g(z) = f (z)f ∗ (z), con f ∗ (z), conjugado de f (z) encuentra el argumento de g(z0 ) (a) u(x, y) = 2x − 2x2 + 2y 2 (c) u(x, y) = 2y 3 − 8xy (e) u(x, y) = 2x − 4y − 3 (g) u(x, y) = e2x cos 2y (i) u(x, y) = x3 − 3xy 2 (b) u(x, y) = 6xy + y 2 (d) u(x, y) = −ey + y 2 (f ) u(x, y) = 3x2 y − y 3 (h) u(x, y) = 4xy (j) u(x, y) = 2xy − x + x2 + 3 − y 2 (k) u(x, y) = 3y 2 + 3y − 3x2 (m) u(x, y) = sen(x)cosh(y) 1 (l) u(x, y) = x2 x + y2 (n) u(x, y) = x2 − y 2 + y 2. Calcula la integral de lı́nea de f (z), z = x+iy, a lo largo de la curva C. Con z ∗ , conjugado de z Z Z 2 (a) z dz, C: recta de (0, 1) a (1, 0) z z ∗ dz, (b) C Z ∗ iz − z dz, (c) I C: recta de − 1 a 1 + 2i C C z dz dz, (1 + z)(1 − iz) I (g) I (i) C C: |z| = 1 C 2i dz, (z − 1)(z + 3i) (e) (i z)∗ dz, (d) C I C: recta de (0, 0) a (1, 1) C I C: |z| = 2 C C: |z+i| = 1 (h) C 1 1 C:|z − i| = 2 2 C: |z − i| = z 2 dz dz, (1 − 4z)(1 + iz) I (j) i 2z ∗ dz, 1 − z dz, (l) C: |z| = 1.5 C C: recta de − 1 a 1 + i C C I (m) C |z| dz, z2 2 C: |z| = 0.25 1 4 C: |z−i| = 0.25 Z ∗ 2 (z ) dz, C: |z| = 2 (k) dz dz, (1 − 2z)(1 + iz) I dz dz, (1 + 2iz)(1 − 2z) I (f ) SERIE TRIGONOMÉTRICA DE FOURIER 1. encuentra las constantes de la serie de fourier trigonométrica a0 , y an de f (t), función periodica. (a) f (t) = t2 , con t ∈ [−2, 2] (b) f (t) = 0.5+t, si x ∈ (−0.5, 0), f (t) = 0.5−t, si x ∈ (0, 0.5), (c) f (t) = e−α t , con t ∈ [−1, 1], α constante positiva 2. determina la constante de la serie de fourier trigonométrica bn , de f (t), función periodica. (a) f (t) = |t| t, con t ∈ [−π, π], (b) f (t) = 1, si t ∈ (0, π), f (t) = −1, si t ∈ (π, 2 π), (c) f (t) = t, si t ∈ (0, 1), f (t) = 1 − t, si t ∈ (1, 2), SERIE COMPLEJA DE FOURIER 3. de la función f (t) periodica, encuentra la constante Cn , de la serie compleja de fourier determina una aproximación de orden 3 de la potencia de f (t), utilizando Cn encuentra el argumento de: C1 , C2 , C3 . (a) f (t) = e−t , con t ∈ [0, 1] (b) f (t) = |sen t|, con t ∈ [−π, π] (c) f (t) = 2 cos2 (t), con t ∈ [−π, π] (d) f (t) = t/2, si t ∈ (0, 0.5), √ (e) f (t) = π/ 2, si t ∈ (−1, 0), f (t) = 1 − t, si t ∈ (0, 1), (f ) f (t) = 0, si t ∈ (−1, −0.5), f (t) = π, si t ∈ (−0.5, 0.5), f (t) = 0, si t ∈ (0.5, 1), 3 TRANSFORMADA DE FOURIER 1. Calcula la transformada de Fourier de f (t), por definición (a) f (t) = 1 si 0 ≤ t ≤ 1 (b) f (t) = 2 si 1 < t ≤ 2 1 − |t| si |t| ≤ 1 0 si |t| > 1 2 π si |t| ≤ 2 0 si |t| > 2 (c) f (t) = 0 3 (f ) f (t) = −3 0 si t < −1/2 si −1/2 < t < 0 si 0 < t < 1/2 si t > 1/2 2. Determina la transformada de Fourier de f (t), utilizando tablas (a) f (t) = 5 H(t − 3) e6−2t + 12 sgn(t) (c) f (t) = 5 t H(t) e−10t − 0.5 Sa(2t) (e) f (t) = 15 sgn(t) e−i (g) f (t) = 5 t e−200|t|/7 − √ √ 2t (b) f (t) = 5 H(t − 1) e3t−3 (d) f (t) = 5 t2 sgn(t) − 5 Sa(100t/5) π Sa(2 π t) (f ) f (t) = 2 2 −2|t−1|/5 e 3 (h) f (t) = 10(H(t − 3) − H(t − 11)) 3. Encuentra la transformada inversa de Fourier, por tablas 4 sen(w) , ∀α∈R ei3w α w (b) F (iω) = 7 2 , ∀b∈R b − 2i + wi (d) F (iω) = (a) F (iω) = (c) F (iω) = 4 e−a π , ∀a∈R (iw − 2)(iw + 3) 4 sen(α) , ∀α∈R (iw + 1)(iw + 0.5) (e) F (iω) = 7 e−i w π , iw + 2 (f ) F (iω) = √ 4 3 (g) F (iω) = , ∀a∈R (iaw + 3)(iw − 3) 1 , (iw + 1)w √ π (h) F (iω) = , ∀b∈R (iw + b)(i b2 w + 2) TRANSFORMADA Z 1. Determina la transformada de Z de la sucesión causal {xk }, con a, b constantes positivos {xk } = (a) {xk } = (c) (e) 1 k+2 − a k 1 k − 2 b (i) {xk } = (d) {xk } = a 1 − 3 e−0.4k (f ) {xk } = a3 cos2 (b π k) (g) {xk } = −4 k {xk } = −3 k sen(2 b k), (b) (j) π − 1 k−1 1 k−1 + a2 k a 3 2 {xk } = cosh (2 a k) π {xk } = 5 k (h) a k {xk } = a k−1 , 10 b k−2 − , 10 a < 10 a < 10 2. Usando técnicas de inversión, encuentra la transformada inversa de Z para X(z) (a) X(z) = (c) (e) 3π 20z − 10 X(z) = X(z) = (b) X(z) = z (z − 3)(2z + 1) (d) 1 (z − 10)(z + 1) (f ) 5 z , con b constante positiva bz − 1 X(z) = X(z) = 3z (3z + 1)(z − 2) 1 (5z − 1)(10z + 2) (g) (i) 1 −1 (h) X(z) = z (z − 3)(3 + 3i) (j) X(z) = X(z) = X(z) = z2 z2 z +1 2z + 1 (z + 1)(z − 3) 3. Encuentra la sucesión causal solución y(k) de la siguiente ecuación en diferencias, para: (a) y(0) = y(1) = 0 y(k + 2) + 3 y(k + 1) − 28 y(k) = 2 (b) y(0) = 0, y(1) = 1 y(k + 2) − 5 y(k + 1) + 6 y(k) = 10 (c) y(0) = y(1) = 0 y(k + 2) + 26 y(k + 1) + 25 y(k) = 4 (d) y(0) = 1, y(1) = √ 2 y(k + 2) + 2 y(k) = 0 (e) y(0) = y(1) = 0 6 y(k + 2) + 5 y(k + 1) − y(k) = 5 (f ) y(0) = 3, y(1) = 2 2 y(k + 2) − 5 y(k + 1) − 3 y(k) = 0 6