Propiedades de la T. de Fourier - Facultad de Ciencias Matemáticas

AMPLIACIÓN DE MATEMÁTICAS
PROPIEDADES DE LA TRANSFORMADA DE
FOURIER.
Teorema 1. Dadas dos funciones f y g absolutamente integrables y
para todo número c ∈ C se tiene que la transformada de Fourier es un
operador lineal, es decir
c(λ) = cfb(λ).
1. f[
+ g(λ) = fb(λ) + gb(λ)
y
cf
Además se verifican las siguientes propiedades.
2. f \
(t − a)(λ) = e−iλa fb(λ).
3. Si g(t) = f (−t), entonces gb(λ) = fb(λ).
4. Si β ≥ 0, entonces f[
(βt)(λ) = 1 fb( λ ).
β
β
5. Si existen las derivadas f 0 , f 00 , f 3) , ...., f n) , todas ellas absolutamente integrables y verificando además que lı́mt→±∞ f k) (t) = 0
para todo k = 1, 2, ...., n, entonces se tiene que
n) (λ) = (iλ)n fb(λ).
fc
(λ)
6. Si h(t) = tg(t), entonces b
h(λ) = i ∂bg∂λ
.
Observación 1.
1. La propiedad 5) es la que permite entender como se modifica una señal al hacerla pasar por un circuito ’RLC’,
como veremos más adelante.
Z ∞
1
−1
2. La transformada inversa F [f ](x) =
f (λ)eiλx dλ tiene
2π −∞
propiedades análogas a las de la transformada de Fourier.
3. La demostración de estas propiedades, como de otras que veremos
más adelante, requieren de técnicas de integración que superan
el alcance de nuestro curso.
1
2
C. RUIZ
R∞
\
Demostración: 1) cf
+ g(λ) = −∞ (cf + g)(t)e−iλt dt de la linealidad
R∞
R∞
\
de la integral se sigue que cf
+ g(λ) = c −∞ f (t)e−iλt dt+ −∞ g(t)e−iλt dt =
cfb(λ) + gb(λ).
2)
Z
∞
f\
(t − a)(λ) =
f (t − a)e
−iλt
Z
∞
f (t − a)e−iλ(t−a) e−iλa dt,
dt =
−∞
−∞
con el cambio de variable u = t − a, y ası́ du = dt, tenemos que
Z ∞
−iλa
=e
f (u)e−iλu du = e−iλa fb(λ).
−∞
3) Usando el cambio de variable u = −t, y ası́ du = −dt, tenemos que
Z ∞
gb(λ) =
f (−t)e−iλt dt
−∞
Z
∞
Z
∞
f (u)e−iλu du = fb(λ).
f (−t)eiλt dt =
=
−∞
−∞
4)
Z
∞
f[
(βt)(λ) =
f (βt)e−iλt dt
−∞
hacemos el cambio de variable u = βt, con du = βdt y teniendo en
cuenta que β ≥ 0, se sigue que
Z
λ
1 ∞
1 λ
=
f (u)e−i β u du = fb( ).
β −∞
β β
5) Veamos el caso k = 1 y después procederemos por inducción. Si f 0
es absolutamente integrable existe fb0 y ası́ haciendo la correspondiente
integración por partes tenemos que
Z ∞
0
b
f (λ) =
f 0 (t)e−iλx dt
−∞
Z ∞
r
= lı́m f (t)e−iλt + iλ
f (t)e−iλt dt
−r
r→∞
−∞
ahora como |e−iλt | = 1 para todos λ, t ∈ R, y además lı́mr→±∞ f (r) = 0,
se tiene que
Z ∞
= iλ
f (t)e−iλt dt = iλfb(λ).
−∞
APUNTES AM
3
k) (λ) = (iλ)k fb(λ), procesiendo de forma análoga
Supongamos que fc
al caso anterior
Z ∞
k+1) (λ) =
f k+1) (t)e−iλx dt
f[
−∞
Z ∞
k)
−iλt r
= lı́m f (t)e
+ iλ
f k) (t)e−iλt dt
−r
r→∞
−∞
ahora como |e−iλt | = 1 para todos λ, t ∈ R, y además lı́mr→±∞ f k) (r) =
0, se tiene que
Z ∞
k) (λ) = (iλ)k+1) fb(λ).
f k) (t)e−iλt dt = iλfc
= iλ
−∞
6)
Z
Z
∞
=i
−∞
∞
Z
∞
−itg(t)e−iλt dt
tg(t)e
dt = i
−∞
−∞
R
∞
−iλt
dt
∂ −∞ g(t)e
∂ g(t)e−iλt
gb(λ)
=i
=i
∂λ
∂λ
∂λ
b
h(λ) =
−iλt
Aplicación.
En los temas siguientes veremos un modelo matemático del funcionamiento de un circuito RLC.
Figura 1. Circuito RLC.
Al entrar una corriente o señal E(t) en el circuito, éste trasforma la
señal y da una señal de salida s(t) que verifica una ecuación diferencial
del tipo (ya explicaremos más adelante el significado matemático de lo
que sigue)
E(t) = s(t) + RCs0 (t) + LCs00 (t)
4
C. RUIZ
Ahora, si aplicamos la transformada de Fourier a las funciones que
están a ambos lados de esta igualdad
0 (t) + LCs00 (t))(λ),
\
b
E(λ)
= (s(t) + RCs
aplicando la linealidad de la transformada de Fourier y su comportamiento sobre las derivadas, tendremos que
= sb(λ) + RC(iλ)b
s(λ) + LC(iλ)2 sb(λ)
y despejando tendremos que
b
sb(λ) = E(λ)
1
.
1 + RCiλ − λ2 LC
1
se lla1 + λRCi − λ2 LC
ma función de transferencia del sistema.
2. Las ’energı́as’ de las frecuencias de la señal son modificadas por
b
el factor H(λ) ( sb(λ) = E(λ)H(λ)).
A este proceso se le llama
filtrado de la señal. El circuito RLC hace el papel de filtro.
3. Distintos valores de R,L y C (resistencias, inductancias y condensadores) permiten filtrar la señal de un modo u otro.
Observación 2.
1. La función H(λ) =
En los temas siguientes, al estudiar los distintos tipos de ecuaciones
diferenciales, veremos como construir distintos tipos de filtros.
Referencias
Departamento de Análisis Matemático, Facultad de Matemáticas,
Universidad Complutense, 28040 Madrid, Spain
E-mail address: Cesar [email protected]