Análisis de Sistemas y Señales
Curso 2023
Tema 5 - Análisis en Frecuencia de Señales y
Sistemas Discretos
Santiago Rodrı́guez
1
Introducción
Análisis Frecuencial
Transformadas:
Señales
A-Periódicas
Periódicas
Motivación:
Tiempo Continuo
Tiempo Discreto
Transformada de
Fourier (TF)
Transformada de
Fourier de Tiempo
Discreto (TFTD)
Transformada de
Fourier de Tiempo
Discreto (TFTD)
Serie de Fourier
(SF) & TF
Serie Discreta de
Fourier (SDF) &
TFTD
2
Análisis Frecuencial SVID
Desde el punto de vista computacional (no-simbólico) no es
posible trabajar con funciones de variable independiente
continua.
En general se trabaja con secuencias (funciones de VI discreta).
Secuencia x[n], con n ∈ Z, es un conjunto ordenado (sucesión)
de valores.
Dada x(t) real o compleja
x[n] ≜ x(nT ), n ∈ Z
Intervalo de muestreo: T .
1
Frec. de muestreo: fs = .
T
3
Transformada de Fourier de
Tiempo Discreto
Transformada de Fourier de Tiempo Discreto (TFTD)
Definición:
Transformada de Fourier de Tiempo Discreto (TFTD) directa
(ecuación de análisis):
X (e
j2πs
) = TFTD{x[·]}(e
j2πs
+∞
X
)≜
x[n]e−j2πsn
n=−∞
Transformada de Fourier de Tiempo Discreto inversa (o
ecuación de sı́ntesis):
x[n] = TFTD
−1
+1/2
{X (·)}[n] ≜
X (ej2πs )ej2πsn ds
−1/2
4
Propiedades
Propiedades 1
Periodicidad (con perı́odo 1 -no necesariamente el
fundamental-):
X (ej2π(s+1) ) =
+∞
X
x[n]e−j2π(s+1)n =
n=−∞
=
+∞
X
:1
= X (ej2πs )
x[n]e−j2πsn
e−j2π1n
n=−∞
Linealidad:
TFTD
x1 [n] ←−−→ X1 (ej2πs )
TFTD
x2 [n] ←−−→ X2 (ej2πs )
TFTD
a x1 [n] + b x2 [n] ←−−→ a X1 (ej2πs ) + b X2 (ej2πs )
5
Propiedades 2
Desplazamiento en Tiempo y en Frecuencia:
TFTD
x[n − n0 ] ←−−→ e−j2πsn0 X (ej2πs )
TFTD
ej2πs0 n x[n] ←−−→ X (ej2π(s−s0 ) )
Simetrı́as:
TFTD
x ∗ [n] ←−−→ X ∗ (e−j2πs )
TFTD
x[−n] ←−−→ X (e−j2πs )
6
Propiedades 3
Diferenciar
TFTD
x[n] − x[n − 1] ←−−→ (1 − e−j2πs )X (ej2πs )
Acumular
n
X
X (ej2πs )
1
TFTD
y [n] =
x[k] ←−−→ Y (ej2πs ) =
+ X (ej0 ) ↑↑↑(s)
−j2πs
1−e
|2
{z
}
k=−∞
valor medio
Derivar en frecuencia
TFTD
n x[n] ←−−→
j dX (ej2πs )
2π
ds
7
Pares Transformados
Algunos Pares Transformados 1
TFTD
δ[n] ←−−→ 1
TFTD
1 ←−−→ ↑↑↑(s)
TFTD
δ[n − n0 ] ←−−→ e−j2πsn0
TFTD
ej2πs0 n ←−−→ ↑↑↑(s − s0 )
TFTD
cos(2πs0 n) ←−−→
1
( ↑↑↑(s + s0 ) + ↑↑↑(s − s0 ))
2
8
Algunos Pares Transformados 2
TFTD
1
1 − a e−j2πs
TFTD
1
↑↑↑(s)
+
−j2πs
2
1−e
an u[n] ←−−→
u[n] ←−−→
TFTD
⊓N [n] ←−−→
, |a| < 1
sen(Nπs)
, N impar
sen(πs)
9
Convolución y producto de
secuencias
Convolución y producto de secuencias
Convolución:
TFTD
z[n] = {x ∗ y }[n] ←−−→ Z (ej2πs ) = X (ej2πs )Y (ej2πs )
TFTD
z[n] = x[n] y [n] ←−−→ Z (ej2πs ) = {X ⊛ Y }(ej2πs )
Cuidado:
Al multiplicar dos señales en el dominio temporal, la TFTD del
producto resulta igual a la convolución circular de las TFTDs.
10
Convolución Circular
{X ⊛ Y }(e
j2πs
+1/2
)=
X (ej2πλ )Y (ej2π(s−λ) )dλ
−1/2
Conclusión:
La única diferencia entre la convolución circular y la lineal es
que la integral se realiza entre -1/2 y 1/2. Por otra parte, como
el resultado es periódico con perı́odo 1, no tiene sentido
calcular el resultado para valores de s más allá de un intervalo
de largo 1.
11
Teoremas de Rayleigh y Parseval
Teoremas de Rayleigh y Parseval
Teorema de Rayleigh
+∞
X
∗
+1/2
x[k]y [k] =
X (ej2πs )Y ∗ (ej2πs )ds
−1/2
k=−∞
Teorema de Parseval
+∞
X
k=−∞
|x[k ]|2 =
+1/2
|X (ej2πs )|2 ds
−1/2
12
Respuesta en frecuencia de un
SLID
Respuesta de un SLID a una exponencial compleja
En forma similar a como hicimos para sistemas LIT, podemos
calcular la respuesta de un SLID con respuesta impulsional
h[n] a una exponencial compleja de entrada
x[n] = ej2πs0 n
∞
X
y[n] =
x[n − m]h[m]
y[n] =
m=−∞
∞
X
ej2πs0 (n−m) h[m]
m=−∞
y [n] = e
j2πs0 n
∞
X
e−j2πs0 m h[m]
m=−∞
y [n] = H(ej2πs0 )ej2πs0 n
13
Respuesta de un SLID a una exponencial compleja
Tenemos entonces, un resultado similar al que obtuvimos para
SLIT
Conclusión:
En un SLID, cuando entra una exponencial compleja, sale una
exponencial compleja de la misma frecuencia. Pero su amplitud
y fase cambian de acuerdo a H(ej2πs0 ).
Las exponenciales complejas son autofunciones de los SLID y
los correspondientes valores H(ej2πs0 ) son los autovalores.
14
Respuesta en frecuencia de un SLID
Nuevamente, podemos definir la respuesta en frecuencia de un
SLID (siempre y cuando este sea estable)
H(e
j2πs
)=
∞
X
h[n]e−j2πsn
n=−∞
que es la TFTD de la respuesta impulsional.
15
Respuesta en frecuencia de un SLID
También podemos encontrar una relación entre la respuesta en
frecuencia y las transformadas de las señales de entrada y
salida. Si suponemos un SLID con respuesta impulsional h[n],
tenemos que
y[n] = {x ∗ h}[n]
Y por la propiedad de la transformada de la convolución
Y (ej2πs ) = H(ej2πs )X (ej2πs )
donde H(ej2πs ) es la respuesta en frecuencia del sistema.
16
Un ejemplo
Supongamos que tenemos un SLID descripto por la ecuación
en diferencias
y[n] − ay[n − 1] = x[n]
Si aplicamos TFTD a ambos lados
Y (ej2πs ) − ae−j2πs Y (ej2πs ) = X (ej2πs )
y reacomodando
H(ej2πs ) =
Y (ej2πs )
1
=
j2πs
X (e
)
1 − ae−j2πs
¿Cuál será la respuesta impulsional?
17
Un ejemplo
Graficamos el módulo de la respuesta en frecuencia para
a = 0,5
18
Un ejemplo
Si sólo lo miramos para s ∈ [−0,5; 0,5]
19
Un ejemplo
Ahora hacemos lo mismo para a = −0,5
20
Serie Discreta de Fourier
Serie Discreta de Fourier (SDF)
Definición:
Si x[n] es periódica de perı́odo N (x[n] = x[n + N], N ∈ Z ), se
puede representar como:
x[n] =
N−1
X
ck ej2πnk/N
k=0
donde ck son los coeficientes de la serie y se calculan como:
ck =
N−1
1 X
x[n]e−j2πnk/N
N
n=0
21
Teorema útil
Teorema
N−1
X
(
ej2πkn/N = Nδ[(k)N ] =
n=0
N si (k )N = 0
0 si (k )N ̸= 0
donde (k )N denota k mod N, el resto de dividir a k por N
Si k = mN ⇒
N−1
X
ej2πmNn/N =
n=0
N−1
X
1 = N.
n=0
Si k ̸= mN
N−1
X
n=0
ej2πkn/N =
ej0 − ej2πkN/N
1−1
=
=0
j2πk/N
1−e
1 − ej2πk/N
22
Serie Discreta de Fourier (SDF)
Demostración:
x[n] =
N−1
X
N−1
1 X
x[m]e−j2πmk/N
N
ej2πnk /N
m=0
k=0
x[n] =
!
N−1
N−1
X
1 X
x[m]
ej2π(n−m)k/N
N
m=0
x[n] =
k=0
N−1
1 X
x[m] N δ[(n − m)N ]
N
m=0
x[n] =
N−1
X
x[m]δ[(n − m)N ] = x[n]
m=0
23
Vinculación con la TFTD
Vinculación de la SDF con la TFTD
Al igual que en el caso de TF, ¿habrá alguna vinculación entre
los ck y la TFTD de un perı́odo de la señal?
Podemos pensar que x[n] puede representarse como:
x[n] = {x1 ∗ pN }[n]
con
pN [n] =
+∞
X
δ[n − kN]
k=−∞
Entonces,
(
x1 [n] =
x[n] n = 0 . . . N − 1
0
c.c.
)
24
Vinculación de la SDF con la TFTD
X1 (e
j2πs
+∞
X
)=
x1 [n]e
N−1
1 X
ck =
x[n]e−j2πnk /N
N
−j2πsn
n=−∞
X1 (e
j2πs
)=
N−1
X
n=0
x1 [n]e
−j2πsn
n=0
N−1
1 X
ck =
x1 [n]e−j2πnk /N
N
n=0
ck =
1
X1 (ej2πs )
N
s=k /N
Conclusión
Los ck pueden obtenerse a partir de la TFTD de UN PERÍODO.
25
TFTD de una señal periódica
¿Cómo resulta la TFTD de una señal periódica?
Si x[n] es periódica de perı́odo N (x[n] = x[n + N], N ∈ Z )
x[n] =
N−1
X
ck ej2πnk/N
k=0
Por linealidad
TFTD{x[n]} =
N−1
X
ck TFTD{ej2πnk /N }
k =0
TFTD{x[n]} =
N−1
X
ck ↑↑↑(s − k /N)
k=0
Que también puede demostrarse (camino más largo) a partir
de x[n] = {x1 ∗ pN }[n]
26
Señales Periódicas a Través de
SLIDs
Señales periódicas a través de SLIDs
Si x[n] es periódica de perı́odo N (x[n] = x[n + N], N ∈ Z )
x[n] =
N−1
X
ck ej2πnk/N
k=0
e ingresa a un SLID con respuesta impulsional h[n], siendo
H(ej2πs ) = TFTD{h[n]}
Por linealidad
y [n] =
N−1
X
ck H(e
j2πk/N
)e
j2πnk /N
=
k=0
N−1
X
dk ej2πnk/N
k=0
∴ dk = ck H(ej2πk/N )
27
