Propiedades de la Transformada de Fourier

Propiedades de la Transformada de Fourier
Demostraciones
W. Colmenares
Universidad Simón Bolı́var, Departamento de Procesos y Sistemas
Resumen
Algunas propiedades de la transformada de Fourier y sus demostraciones. Observe
que las Series de Fourier comparten la mayorı́a de las propiedades de la Transformada de Fourier y que es fácil extrapolar las propiedades de las Series a partir de
las de las transformadas.
1.
Generalidades
En general, para una señal x(t) su transformada de Fourier, que asumiremos
conocida, será X(jω). Es decir:
F[x(t)] = X(jω) ó F−1 [X(jω)] = x(t).
2.
Linealidad
F[x(t) + y(t)] = X(jω) + Y (jω)
2.1. Demostración
Z∞
Z∞
−jωt
F[x(t)+y(t)] =
(x(t)+y(t))e
−∞
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dt =
Z∞
x(t)e
−∞
−jωt
dt+
y(t)e−jωt dt = X(jω)+Y (jω)
−∞
5 de junio de 2007
3.
Semejanza
F[X(t)] = 2πx(−jω).
3.1. Demostración
Note que:
Z∞
X(jω) =
x(t)e
−jωt
−∞
∞
1 Z
X(jω)ejωt dω;
dt = y x(t) =
2π
−∞
por lo que si reemplazamos jω por −t, y viceversa, en ambas expresiones,
recuperamos la otra por un factor de 2π.
4.
Desplazamiento en el tiempo
F[x(t − t0 )] = e−jωt0 X(jω)
4.1. Demostración
∞
∞
1 Z
1 Z
jωt
x(t) =
X(jω)e dω ⇒ x(t − t0 ) =
X(jω)ejω(t−t0 ) dω
2π
2π
−∞
−∞
luego
∞
1 Z −jωt0
x(t − t0 ) =
e
X(jω) ejωt dω
|
{z
}
2π
−∞
5.
F[x(t−t0 )]
Conjugación y Simetrı́a
F[x∗ (t)] = X ∗ (−jω)
2
5.1. Demostración

∗
Z∞
−jωt
X(jω) =
x(t)e
Z∞
∗
dt
x∗ (t)ejωt dt
⇒ X (jω) =
−∞
−∞
luego
Z∞
∗
x∗ (t)
X (−jω) =
| {z }
e−jωt dt
−∞ F−1 [X ∗ (−jω)]
5.2. Corolario
En las señales reales se cumple que x(t) = x∗ (t) luego
Z∞
Z∞
∗
x (t)
| {z }
−jωt
e
dt =
e−jωt dt
x(t)
| {z }
−∞ F−1 [X(jω)]
−∞ F−1 [X ∗ (−jω)]
por lo que: X ∗ (−jω) = X(jω) ó X ∗ (jω) = X(−jω).
6.
Transformada de la derivada
F[ dx(t)
] = jωX(jω)
dt
6.1. Demostración


∞
Z∞
1 Z
dx(t)
d 
jωt

x(t)) =
=
X(jω)e dω ⇒
jωX(jω) ejωt dω
| {z }
dt
2π
dt
−∞
7.
−∞
Transformada de la convolución
F[x(t) ∗ y(t)] = X(jω)Y (jω)
3
F[ dx(t)
]
dt
7.1. Demostración
Z∞
F[x(t) ∗ y(t)] = F[
Z∞ Z∞
x(τ )y(t − τ )dτ e−jωt dt
x(τ )y(t − τ )dτ ] =
−∞
−∞ −∞
cambiando el orden de integración resulta:
Z∞
Z∞
x(τ )
−∞
y(t − τ )e−jωt dtdτ
−∞
haciendo λ = t − τ
Z∞
Z∞
x(τ )e
−∞
8.
Z∞
−jωτ
−jωλ
y(λ)e
x(τ )e−jωτ Y (jω)dτ = X(jω)Y )jω)
dλdτ =
−∞
−∞
Escalamiento
F[x(at)] =
1
X( jω
)
|a|
a
8.1. Demostración
Z∞
F[x(at)] =
x(at)e
jωt
−∞
9.
∞
jωλ
1 Z
1
jω
dt =
x(λ)ej a dλ =
X( )
|a|
|a|
a
−∞
La transformada del escalón
Para poder desarrollar la transformada de la integral, necesitamos hacer primero
la transformada del escalón. Además, aprovechando que se desarrolla la del
escalón, desarrollaremos, por su similaridad, la de una constante.
Para hacer la transformada del escalón u(t), observe que:
u(t) = lı́m e−at u(t);
a→0
a>0
y sabemos que:
F[e−at u(t)] =
a
jω
1
= 2
− 2
2
a + jω
a +ω
a + ω2
4
El segundo término tiende a 1/jω cuando a → 0. Del primer término sabemos
que en ω = 0 está en 1/a y en ω = ±a está en 1/2a. Luego, a medida que
a → 0 la curva se acerca a cero para toda ω salvo en cero en la que tiende a
infinito. Más aún,
Z∞
−∞
µ
¶
a
ω ∞
dω = tan−1
|
=π
2
2
a +ω
a −∞
y tenemos entonces, una función que tiende a cero para toda ω salvo en cero
en la que tiende a infinito y además su área es constante e independiente de
a, luego:
a
= πδ(ω)
lı́m 2
a→0 a + ω 2
Por lo que:
1
F[u(t)] =
+ πδ(ω)
jω
10.
La transformada de una constante
Observe que: 1 = lı́ma→0 {e−at u(t) + eat u(−t)}
Como
F[e−at u(t)] =
1
a + jω
F[eat u(−t)] =
1
a − jω
entonces
y
F[e−at u(t) + eat u(−t)] =
a2
2a
+ ω2
del ejercicio anterior sabemos que
lı́m
a→0
a2
2a
= 2πδ(ω)
+ ω2
luego F[1] = F[lı́ma→0 {e−at u(t) + eat u(−t)}] = 2πδ(ω)
11.
La transformada de la integral
Zt
F[
x(t)dt] = F[x(t)∗u(t)] = X(jω)U (jω) = X(jω)(
−∞
5
X(jω)
1
+πδ(ω)) =
+πX(0)
jω
jω
12.
El teorema de Parseval
La energı́a de una señal medida en el dominio del tiempo o de la frecuencia
es la misma, i.e.,
∞
Z∞
1 Z
2
|x(t)| dt =
|X(jω)|2 dω
2π
−∞
−∞
12.1. Demostración
Z∞
∞
Z∞
1 Z
x(t)
x(t)x (t)dt =
X ∗ (jω)e−jωt dωdt
2π
∗
−∞
−∞
−∞
cambiando el orden de integración
∞
Z∞
1 Z
∗
X (jω)
x(t)e−jωt dt dω
2π
−∞
−∞
|
{z
}
X(jω)
a partir de donde es inmediato el resultado
13.
Notas finales
Quedan algunas demostraciones, como multiplicación en el tiempo o corrimiento en frecuencia, multiplicación por t, etc. De fácil extracción a través de
la propiedad de semejanza. Dejamos que el lector interesado las trabaje.
6