Propiedades de los l´ımites de funciones

Propiedades de los lı́mites de funciones
1) El lı́mite, si existe, es único.
Demostración (reducción al absurdo): supongamos que existan dos, ϕ1 y ϕ2 .
Tomamos ε > 0 / 2ε < |ϕ1 − ϕ2 | (ε es menor que la semidistancia entre ambos).
Al ser ϕ1 y ϕ2 lı́mites,
∃δ1 > 0 / 0 < |x − a| < δ1 =⇒ |f (x) − ϕ1 | < ε,
∃δ2 > 0 / 0 < |x − a| < δ2 =⇒ |f (x) − ϕ2 | < ε.
Sea δ = min(δ1 , δ2 ). Entonces, 0 < |x − a| < δ =⇒
|ϕ1 − ϕ2 | = |ϕ1 − f (x) + f (x) − ϕ2 | ≤ |ϕ1 − f (x)| + |f (x) − ϕ2 | < 2ε.
Es decir, 2ε > |ϕ1 − ϕ2 |, contra la hipótesis.
2) Si lı́m f (x) = ϕ, f está acotada en un entorno Va∗ = (a − δ, a) ∪ (a, a + δ).
x→a
Demostración: Por ser ϕ el lı́mite,
∀ε > 0 ∃δ > 0 / 0 < |x − a| < δ =⇒ |f (x) − ϕ| < ε.
Entonces
−ε < f (x) − ϕ < ε =⇒ ϕ − ε < f (x) < ϕ + ε.
Nota: Los puntos que satisfacen la condición 0 < |x − a| < δ son los que pertenecen al conjunto (a − δ, a) ∪ (a, a + δ).
3) Si lı́m f (x) = ϕ 6= 0, existe un entorno Va∗ en el que f tiene el signo del lı́mite.
x→a
Demostración (a partir de la propiedad 2):
Si ϕ > 0 tomamos ε < ϕ =⇒ 0 < ϕ − ε < f (x) =⇒ f (x) > 0.
Si ϕ < 0 tomamos ε < −ϕ =⇒ f (x) < ϕ + ε < 0 =⇒ f (x) < 0.
4) Sea f (x) ≤ g(x) ≤ h(x), en Va∗ (0 < |x − a| < δ) y lı́m f (x) = lı́m h(x) = ϕ.
Entonces se cumple lı́m g(x) = ϕ.
x→a
x→a
x→a
Demostración:
(
∃δ1 > 0 / 0 < |x − a| < δ1 =⇒ ϕ − ε < f (x) < ϕ + ε
∀ε > 0
∃δ2 > 0 / 0 < |x − a| < δ2 =⇒ ϕ − ε < h(x) < ϕ + ε.
Sea δ ∗ = min(δ, δ1 , δ2 ). Entonces
∀ε > 0 ∃δ ∗ > 0 / 0 < |x − a| < δ ∗ =⇒ ϕ − ε < f (x) ≤ g(x) ≤ h(x) < ϕ + ε.