Composición de funciones

Composición de funciones
Sean f : A → B, g : B → C y h : A → C es la función compuesta h = g ◦ f (x) = g(f (x)) Si g es función
par y f es fución par entonces g ◦ f y f ◦ g son pares
Demostración. Tenemos que
g ◦ f (x) = g(f (x)) = g(f (−x)) = g ◦ f (−x)
Analogamente se tiene
f ◦ g(x) = f (g(x)) = f (g(−x)) = f ◦ g(−x)
Si g es una función impar y f es una funcion impar entonces g ◦ f es impar
Demostración. Tenemos que
g ◦ f (x) = g(f (x)) = g(−f (−x)) = −g(−(−f (−x))) = −g(f (−x)) = −g ◦ f (−x)
Si g es una función impar y f es una funcion par entonces g ◦ f es par
Demostración. Tenemos que
g ◦ f (x) = g(f (x)) = g(f (−x)) = g ◦ f (−x)
Si g es una función par y f es una funcion impar entonces g ◦ f es par
Demostración. Tenemos que
g ◦ f (x) = g(f (x)) = g(−f (−x)) = g(f (−x)) = g ◦ f (−x)
Verifiquemos la propiedad asociativa de la composición de funciones
Demostrar que
((h ◦ g) ◦ f ) = h ◦ (g ◦ f )
Demostración. Tenemos que
((h ◦ g) ◦ f ) (x) = (h ◦ g) (f (x)) = h (g(f (x)))
por otro lado
h ◦ (g ◦ f ) (x) = h (g ◦ f (x)) = h (g (f (x)))
ambas expresiones son iguales.
1
Inversa de una función
Definimos f −1 ( la inversa de f) al conjunto de pares (b,a) para los cuales (a, b) ∈ f , dicho conjunto si
existe satisface f −1 ◦ f = IA
f ◦ f −1 = If (A)
Teorema 1. Una función f admite inversa si y solo si es biyectiva
Demostración. (⇒)
Lamaremos g : B → A a la inversa de f y mostraremos que f : A → B es inyectiva, para esto considero
x, x1 tales que f (x) = f (x1 ). Como este elemento esta en B aplico g de tal manera que
g (f (x)) = g (f (x1 ))
y como g es inversa de f se tiene que x = g (f (x)) = g (f (x1 )) = x1
Ahora mostraremos que f es sobre, para sea y ∈ B por definición de identidad en B se tiene que
y = IdB
y como por hipótesis
IdB = f ◦ g
se tiene que y = (f ◦ g(y)) = g(f (y)) si hacemos x = g(y) ∈ A hemos determinado la exixtencia de un
x ∈ A tal que f (x) = y ∴ f es suprayectiva y por tanto biyectiva.
(⇐)
Si una función es biyectiva entonces admite inversa
Para esto definimos g : B → A mediante g(y) = x si f (x) = y. Definida ası́ tenemos que todo elemento
y ∈ B tiene un correpondiente x ∈ A, ya que f por se suprayectiva todo y ∈ B proviene de algún x ∈ A
y el correspondiente x asociado a y es único por ser f inyectiva y además
(g ◦ f )(x) = g(f (x)) = g(y) = x = IdA (x)
y también
(f ◦ g)(y) = f (g(y)) = f (x) = y = IdB (y)
Imagenes inversas de funciones
Sean f : X → Y y A una parte del codominio Y. Imagen inversa ó preimagen del subconjunto A ⊂ Y , es
el conjunto de los elementos del dominio cuyas imagenes pertenecen a A
f −1 (A) = {x ∈ X|f (x) ∈ A}
las siguientes afirmaciones son claras
Si
x ∈ f −1 (A) ⇒ f (x) ∈ A
Si
f (x) ∈ A ⇒ x ∈ f −1 (A)
2
Es decir, un elemento del dominio pertenece a la preimagen de A, si y solo si su imagen pertenece a A.
Ejemplo.- Sea f : R → R definida por f (x) = x2 . Determine las preimagenes de los siguientes subconjuntos del codominio
(−∞, −1],
(−1, 1],
(−1, 1)
[4, 9]
Para el conjunto (−∞, −1] se tiene que
f −1 (−∞, −1] = {x ∈ R|f (x) ∈ (−∞, −1]}
Ahora bien
f (x) ∈ (−∞, −1] ⇔ x2 ≤ −1 ⇔ x ∈ ∅
resulta entonces que
f −1 (−∞, −1] = ∅
Para el conjunto (−1, 1] se tiene que
f −1 (−1, 1] = {x ∈ R|f (x) ∈ (−1, 1]}
Ahora bien
f (x) ∈ (−1, 1] ⇔ x2 ∈ (−1, 1] ⇔ −1 ≤ x2 ≤ 1 ⇔ x2 ≤ 1 ⇔ |x| ≤ 1 ⇔ −1 ≤ x ≤ 1 ⇔ x ∈ [−1, 1]
resulta entonces que
f −1 (−1, 1] = [−1, 1]
Para el conjunto (−1, 1) se tiene que
f −1 (−1, 1) = {x ∈ R|f (x) ∈ (−1, 1)}
Ahora bien
f (x) ∈ (−1, 1) ⇔ x2 ∈ (−1, 1) ⇔ −1 < x2 < 1 ⇔ x2 < 1 ⇔ |x| < 1 ⇔ −1 < x < 1 ⇔ x ∈ (−1, 1)
resulta entonces que
f −1 (−1, 1) = (−1, 1)
Para el conjunto [4, 9] se tiene que
f −1 [4, 9] = {x ∈ R|f (x) ∈ [4, 9]}
Ahora bien
f (x) ∈ [4, 9] ⇔ x2 ∈ [4, 9] ⇔ 4 ≤ x2 ≤ 9 ⇔ 2 ≤ |x| ≤ 3 ⇔ 2 ≤ x ≤ 3
0́
2 ≤ −x ≤ 3 ⇔ x ∈ [2, 3] 0́
x ∈ [−3, −2]
resulta entonces que
f −1 [4, 9] = [−3, −2]
[
[2, 3]
Proposición 1. Si f : X → Y , A ⊂ Y , B ⊂ Y se tiene entonces que f −1 (A
3
S
B) = f −1 (A)
S
f −1 (B)
Demostración. Sea
[
[
z ∈ f −1 (A B) ⇔ f (x) ∈ (A B) ⇔ f (x) ∈ A
0́
f (x) ∈ B ⇔ x ∈ f −1 (A) ó
Proposición 2. Si f : X → Y , A ⊂ Y , B ⊂ Y se tiene entonces que f −1 (A
Demostración. Sea
\
\
z ∈ f −1 (A B) ⇔ f (x) ∈ (A B) ⇔ f (x) ∈ A
y
T
f (x) ∈ B ⇔ x ∈ f −1 (A)
x ∈ f −1 (B) ⇔ x ∈ f −1 (A)
B) = f −1 (A)
y
Demostración. Sea
c
z ∈ f −1 (Ac ) ⇔ f (x) ∈ Ac ⇔ f (x) ∈
/A⇔x∈
/ f −1 (A) ⇔ x ∈ f −1 (A)
Demostración. Si x ∈ f −1 (A) ⇒ f (x) ∈ A ∴ f (f − (A)) ⊆ A
4
c
f −1 (B)
f −1 (B)
x ∈ f −1 (B) ⇔ x ∈ f −1 (A)
Proposición 3. Si f : X → Y , A ⊂ Y , B ⊂ Y se tiene entonces que f −1 (Ac ) = f −1 (A)
Proposición 4. Sea f : X → Y una función se tiene entonces que f f −1 (A) ⊆ A
T
[
\
f −1 (B)