Notas sobre derivadas parciales. - FaMAF

Análisis Matemático III, FaMAF - UNC
SEGUNDO CUATRIMESTRE 2013
Derivadas de orden más alto
Teorema I: Supongamos que f está definida en un conjunto abierto E ⊂ R2 , y
∂f
y
∂x
∂ 2f
existen en cada punto de E. Supongamos que Q ⊂ E es un rectángulo cerrado con
∂y∂x
vértices (a, b), (a + h, b), (a + h, b + k), (a, b + k) y (h, k) 6= 0. Definimos
ρ(a, b, h, k) = f (a + h, b + k) − f (a + h, b) − f (a, b + k) + f (a, b)
Entonces existe un punto (ξ, η) en el interior de Q tal que
ρ(a, b, h, k) = hk
∂ 2f
(ξ, η)
∂y∂x
Demostración:
Definamos la función u(x) = f (x, b + k) − f (x, b), entonces
ρ(a, b, h, k) = u(a + h) − u(a).
∂f
∂f
∂f
para cada punto en E, existe entonces u0 (x) =
(x, b + k) −
(x, b).
∂x
∂x
∂x
Aplicando entonces el Teorema del valor medio de la derivada a la función u(x) en el
intervalo (a, a + h) podemos escribir
Como existe
ρ(a, b, h, k) = u(a + h) − u(a)
= hu0 (ξ)
∂f
∂f
= h
(ξ, b + k) −
(ξ, b) .
∂x
∂x
∂ 2f
en cada punto de E podemos aplicar nuevamente el Teore∂y∂x
∂f
ma del valor medio de la derivada a la función
(ξ, y) en el intervalo (b, b+k) obteniendo
∂x
∂ 2f
(ξ, η).
ρ(a, b, h, k) = hk
∂y∂x
Nuevamente como existe
Teorema II: Supongamos que f está definida en un conjunto abierto E ⊂ R2 , y
∂f ∂f
,
∂x ∂y
∂ 2f
∂ 2f
existen en cada punto de E. Además supongamos que
es continua en algún
∂y∂x
∂y∂x
∂ 2f
punto (a, b) ∈ E. Entonces
existe en el punto (a, b) y
∂x∂y
y
∂ 2f
∂ 2f
(a, b) =
(a, b)
∂x∂y
∂y∂x
1
Análisis Matemático III, FaMAF - UNC
∂ 2f
es continua en (a, b). Dado > 0 podemos elegir (h, k)
∂y∂x
suficientemente pequeños
2
2
∂ f
∂
f
<
(ξ,
η)
−
(a,
b)
∂y∂x
∂y∂x
Demostración: Como
usando el Teorema I para (ξ, η) ∈ Q tenemos que
2
ρ(a, b, h, k)
∂
f
−
(a, b) < hk
∂y∂x
con ρ(a, b, h, k) = f (a + h, b + k) − f (a + h, b) − f (a, b + k) + f (a, b). Fijando h y tomando
∂f
existe podemos escribir
∂y
2
1 ∂f
∂f
∂
f
<
(a
+
h,
b)
−
(a,
b)
−
(a,
b)
h ∂y
∂y
∂y∂x
Como es arbitrario y h 6= 0 obtenemos el resultado.
k → 0 y puesto que
2