Unidad 2. Números Reales Axiomas de orden 1

Unidad 2. Números Reales
2.1 Números Naturales, Enteros, Racionales, Irracionales y Reales
Axiomas de orden
Ejercicio
Pruebe que 1 > 0
Solución
Tenemos que
1 = 1 · 1 = 12 > 0
pues ya se demostro que el cuadrado de un elemento de F, es positivo.
Teorema 1. En algún campo ordenado F, se cumplen las siguientes propiedades ∀ x, y, z ∈ F (a) Si
x < y , y y < z , entonces x < z
(b) x < y si y solo si x + z < y + z ; similarmente, x < y si y solo si x − z < y − z
(c) Si z > 0, entonces x < y ⇒ xz < yz
(d) Si z < 0, entonces x < y ⇒ xz > yz
(e) Si x, y > 0, entonces x < y ⇒ x2 < y 2
Demostración. (a)
entonces
Suponga que x < y y y < z . Por denición, esto quiere descir y − x ∈ P y z − x ∈ P ,
z − x = z + 0 − x = z + (−y + y) − x = (z − y) + (y − z) ∈ P
(b)
∴ x<z
Si x < y entonces y − x ∈ P por otro lado
y−x = y−x+0 = y−x−z+z = y+z−x−z = y+z−(x+z) ∴ y+z−(x+z) ∈ P ∴ x+z < y+z
(c)
Supongamos z > 0 y x < y . Por denición, z ∈ P y y −x ∈ P por O2 (y −x)z ∈ P esto es yz −xz ∈ P
esto quiere decir xz < yz
(d)
Supongamos que z < 0 tenemos entonces que −z ∈ P y si x < y ⇒ y − x ∈ P según O2 se tiene
(−z)(y − x) ∈ P ⇒ (−z)y + (−z)(−x) ∈ P ⇒ − zy + xz ∈ P ⇒ zy < zx
(e)
Supongamos que x, y > 0
⇒
x < y ⇒ x2 < xy y también x < y ⇒ xy < y 2 ∴ x2 < xy < y 2 por lo que x2 < y 2
Supongamos que x, y > 0
⇐
x2 < y 2 ⇒ y 2 − x2 ∈ P ⇒ y como y 2 − x2 = (y − x)(y + x) entonces (y − x)(y + x) ∈ P
Al ser x, y > 0 debe ocurrir que (y + x) > 0 y por lo tanto y − x ∈ P esto quiere decir que x < y
Corolario 1. (a) Si x > 0, entonces x−1 > 0; si x < 0, entonces x−1 < 0
(b) Si ambos lados de una desigualdad se dividen por un elemento positivo, la desigualdad se preserva
(c) Si ambos lados de una desigualdad se dividen por un elemento negativo, la desigualdad se invierte
Facultad de Ciencias UNAM
Cálculo Diferencial e Integral I
Prof. Esteban Rubén Hurtado Cruz
1
2.1 Números Naturales, Enteros, Racionales, Irracionales y Reales
Unidad 2. Números Reales
Tenemos que x · x−1 = 1 > 0 por lo tanto x, x−1 tienen el mismo signo, analogamente
si x < 0 y x · x−1 = 1 > 0 entonces x, x−1 deben tener el mismo signo y por tanto x−1 < 0
Demostración. (a)
(b)
Sea z ∈ F tal que z > 0 entonces z −1 ∈ P por lo tanto
x < y ⇒ y−x ∈ P y como z −1 ∈ P entonces (y−x)z −1 ∈ P ⇒ yz −1 −xz −1 ∈ P ⇒ xz −1 < yz −1
⇒ x÷z <y÷z
(c)
Sea z ∈ F tal que z < 0 entonces z −1 ∈
/ P y por tanto −z −1 ∈ P
x < y ⇒ y−x ∈ P y como −z −1 ∈ P entonces (y−x)(−z −1 ) ∈ P ⇒ −yz −1 +xz −1 ∈ P ⇒ yz −1 < xz −1
⇒ y÷z <x÷z
Teorema 2. Propiedades de las desigualdades En algún campo ordenado F, se cumplen las siguientes
propiedades
(a) 0 < x < y ⇒ 0 < y −1 < x−1
(b) Si x < y y u < v entonces x + u < y + v
(c) Si 0 < x < y y u < v entonces xu < yv
(d) Si
x < y, entonces x <
x+y
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y
x
v
<
y
u
<y
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