Diagramas Polares El diagrama polar de una función de

Diagramas Polares
El diagrama polar de una función de transferencia sinusoidal G (jω) es un
diagrama de la amplitud de G (jω) en función del ángulo de fase. Entonces el
diagrama polar es el diagrama de │G (jω)│ G(jω) al variar ω desde 0 a ∞ .
El ángulo se considera positivo en el sentido antihorario. Las proyecciones de
G (jω) en los ejes real e imaginario son sus componentes real e imaginario.
Diagrama polar de un factor de primer orden (1 +jωT) -1
G (jω) = 1
=
1+ ω2T2
1+jωT
=
(
1
1jωT
)
-tan-1ωT
1
(1-jωT )
1-jωT
=
1
1+ω2T
- jωT
=
x+jy
1+ω2T
El diagrama polar es una semicircunferencia
ω
G(jω) G(jω)
0
.3
.5
1
2
3
∞
1
.91
.8
.5
.2
.1
0
0
-17=343°
-26.5=333°
-45=315°
-63.4=296°
-90=270°
-71.6=288°
En forma rectangular quedaría :
ω
0
.3
.5
1
2
3
&
X
1
.91
.8
.5
.2
.1
0
Y
0
-.27
-.4
-.5
-.4
-.3
0
El diagrama polar también puede obtenerse directamente del diagrama de Bode
Ejemplo:
G(s) = 1/(s+1) se puede representar como :
G(jω) =
1
1+jωT
Amplitud en db= -20log | 1+ jωT |
db = -20 log
1+ω2T2
si T=1
db = -20 log
Ǿ=
1
1 +ωT
Ǿ= -tan-1ω
Tabulando en forma de Bode:
ω
G(jω)
G(jω)
.1
.2
.5
1
2
0db 1
0db 1
-1db=.89
3db=.707
-7db=.45
-6°
-12°
-30°
-45°
-64°
1+ω2T2
5
10
0
1.5
-14db=.2
-20db=.1
1db=1
.5db=.56
-78°
-84°
0°
-56°
Si estos mismos valores lo aplicamos a una gráfica polar (cambiando los valores
de amplitud de db a valores lineales nos queda :
El lugar de P (jω) es el mismo en coordenadas polares ó rectangulares. La forma
como se escoge es de forma analítica ó como datos experimentales.
Para observar la complejidad de las gráficas polares se muestra la gráfica de
2
G(s)=
G (jω)=
s2 + s + 2
-tan-1 ω
1
(1-ω2/2)2 + ω2/4
2 – ω2
Ω
G(jω)
.2
.4
.8
1
2
4
10
0
1.5
1.2
1.3
1.4
1.05
1.06
1.26
1.41
.70
.137
.020
1
1.3
1.5
1.51
1.42
-tan-1 ω
2-w2
-5.82°
-12.26°
-30.46°
-45°
-135°
-164°
-174°
0°
-99°-65°
-76°
-88°
Retardo de transporte. El retardo de transporte es debido a los retrasos inherentes
en las respuestas de los sistemas físicos, y en Laplace se representan como una
exponencial de la forma
G (jω) = e –jωT
La fase se representa como:
cos ωT-j senωT
Ej. Obtener el diagrama polar de
G (jω) = e-jωL
G (jω)=
1+ jωT
1
e-jωL
-
1+ jωT )
1+ω2T2
G (jω) =
1
Ǿ (jw) =
(-ωL-tan-1 ωT)
en radianes
1+ω2T2
Si L=1 y T=1 la tabulación queda
ω
0
.5
1
2
3
10
.2
.6
.8
1.5
2.5
G(jω)
1
.9
.7
.44
.31
.09
.98
.85
.78
.55
.37
G(jω)
0°
-55.26=305°
-103=257°
-178=181°
116°
297°
337°
294°
275°
217°
|48°
ω
3
4
5
G(jω)
.3
.24
.196
G(jω)
-243°
-305°
-365°