1. Aproximación de Controladores Continuos

1. Aproximación de Controladores Continuos
1. Aproximación de Controladores Continuos ____________________________ 1
1.1. Introducción ________________________________________________________ 2
1.2. Aproximación Basada en la Función de Transferencia _____________________ 2
1.1.1. Aproximación de Tustin ______________________________________________ 2
1.1.2. Problemas en el dominio Frecuencia _____________________________________ 3
1.1.3. Respuestas Equivalentes ______________________________________________ 5
1.3. Aproximación Basada en Variables de Estado ____________________________ 8
1.4. Métodos Basados en Respuesta en Frecuencia ___________________________ 10
1.1.4. Método de la Transformada w _________________________________________ 10
Control Digital 08.doc 1
1.1. Introducción
Muchas veces ya existe un controlador analógico
Se intenta reproducir su comportamiento
Con un período de muestreo pequeño se puede solucionar.
1.2. Aproximación Basada en la Función de Transferencia
Se intenta aproximar G ( s )
u(t)
u(kt)
CAD
y(kt)
Algoritmo
y(t)
CDA
text
Reloj
1.1.1. Aproximación de Tustin
aproximación de derivada como una diferencia en adelanto (método de Euler)
px =
dx ( t )
dt
≈
x (t + T ) − x ( t )
T
=
q −1
x (t )
T
[1.1]
como una diferencia hacia atrás
px =
dx ( t )
dt
≈
x (t ) − x (t − T )
T
=
q −1
x (t )
qT
[1.2]
en transformadas significa reemplazar
s=
z −1
z −1
o s=
T
zT
[1.3]
que corresponden a un desarrollo en serie truncado
Para el método de Euler
z = esT ≈ 1 + sT
[1.4]
para la diferencia hacia atrás
z = esT ≈
1
1 − sT
[1.5]
Otra aproximación: el método trapezoidal o método de Tustin
Control Digital 08.doc 2
z = esT
sT
2
≈
sT
1−
2
1+
[1.6]
Se reemplaza directamente s por alguna de sus aproximaciones:
Euler
s′ =
z −1
T
[1.7]
diferencia hacia atrás
s′ =
z −1
zT
[1.8]
Tustin o bilineal
s′ =
2 z −1
T z +1
[1.9]
de este modo se obtiene
H ( z ) = G ( s′ )
[1.10]
La figura muestra el mapeo del semiplano negativo de s
Plano Z
Diferencia en Adelanto
Diferencia en Atraso
Tustin
1.1.2. Problemas en el dominio Frecuencia
Con estas aproximaciones se distorsiona la escala de frecuencias.
Si se quiere digitalizar un filtro pasa banda o notch puede haber distorsiones.
Ejemplo: transmisión de una senoide a través de un filtro con BO0
Control Digital 08.doc 3
H ( e jωT ) =
 2 e jωT −1 
1
jωT
1
−
e
G
(
)  T e jωT + 1 
jωT


[1.11]
el factor anterior es debido al bloqueador
el argumento de G es
jωT
− jωT
2
2 e jωT − 1 2 e 2 − e
2j
 ωT 
=
=
tan 

jωT
jωT
− jωT
T e +1 T e 2 + e
T
2
 2 
[1.12]
la escala de frecuencias no es lineal.
Por ejemplo si el sistema continuo no deja pasar una determinada frecuencia ω ′ , la
frecuencia bloqueada en el discreto será
ω′ =
2
 ωT 
tan 

T
 2 
[1.13]
o sea
 (ω ′T ) 2 
2
− 1  ω ′T 
ω = tan 

 ≈ ω ′ 1 −
T
12 
 2 

[1.14]
No hay distorsión para ω = 0 y la distorsión es baja para bajas frecuencias.
Para eliminar esta distorsión, a una determinada frecuencia ω1 se puede introducir
una nueva transformación:
s′ =
tan
ω1
ω1T
(
2
)
z −1
z +1
[1.15]
ahora se cumple
H ( e jω1T ) = G ( jω1 )
[1.16]
para esa frecuencia son iguales, pero hay distorsión para otras frecuencias.
Ejemplo 1.1. Integrador
G (s ) =
1
s
[1.17]
su versión digital según Tustin
Control Digital 08.doc 4
HT ( z ) =
1
T z +1
=
2 z −1 2 z −1
T z +1
[1.18]
la versión modificada para ω1
HM ( z) =
tan
(ω T 2 ) z +1
1
ω1
[1.19]
z −1
en función de la frecuencia
H M ( e jωT ) =
(
tan ω1T
ω1
)
2 e jωT + 1
=
e jωT − 1
(
tan ω1T
2
ω1
)
1
j tan ωT
(
2
)
[1.20]
para ω = ω1 continua y discreta, coinciden.
1.1.3. Respuestas Equivalentes
Se puede calcular una función de transferencia discreta para que tengan igual
respuesta al escalón o a una rampa.
Ejemplo 1.2. Comparación de Aproximaciones
G ( s) =
( s + 1)
(s + 5)
2
(s
2
2
(s
2
+ 2s + 400 )
+ 2s + 100 )( s 2 + 3s + 2500 )
[1.21]
se muestrea con T = 0,03 s o sea ω N = 105 rad s
con un bloqueador de orden cero resulta
1
Gˆ ( s ) =
1 − e − sT ) H ( e sT )
(
sT
[1.22]
Control Digital 08.doc 5
Bode Diagrams
From: U(1)
0
-100
-150
100
0
To: Y(1)
Phase (deg); Magnitude (dB)
-50
-100
-200
-300
-1
10
0
1
10
10
2
10
3
10
Frequency (rad/sec)
Sistema continuo, Aproximación de Tustin, BO0
Ejemplo 1.3. Motor con compensador en adelanto
Motor:
G ( s) =
1
s ( s + 1)
[1.23]
compensador en adelanto
Gk ( s ) = 4
s +1
s+2
[1.24]
función de transferencia en lazo cerrado
Glc ( s ) =
4
s + 2s + 4
[1.25]
2
tiene un factor de amortiguamiento ξ = 0,5 y una frecuencia natural ω 0 = 2 rad
s
El objetivo es encontrar una función de transferencia que aproxime la respuesta en
lazo cerrado según el esquema de la figura
Control Digital 08.doc 6
ek
r(t)
uk
CAD
u(t)
H(z)
y(t)
1
s ( s + 1)
CDA
-1
La aproximación de Euler resulta
z −1
+1
z − (1 − T )
z −1 + T
H Ek ( z ) = 4 T
=4
=4
z −1
z − 1 + 2T
z − (1 − 2T )
+2
T
[1.26]
Tustin
(2 −T )
2 z −1
z−
+1
(2 + T ) z − 2 + T
(2 + T )
2 +T
HTk ( z ) = 4 T z + 1
=4
=4
2 z −1
( 2 + 2T ) z − 2 + 2T 2 + 2T z − (1 − T )
+2
(1 + T )
T z +1
[1.27]
La transformación con un bloqueador de orden cero del regulador resulta
H BO 0 k ( z ) =
4 z − 2 (1 + e −2T )
z − e−2T
=4
z − 0,5 (1 + e−2T )
[1.28]
z − e−2T
todas las aproximaciones tienen la forma
Hk ( z ) =
b0 z + b1
z + a1
[1.29]
La frecuencia de corte del sistema continuo es ω c = 1,6 rad s y una buena elección
del período de muestreo es T = 0,1L 0,3s
4
1.4
1.2
3
1
2
0.8
1
0.6
0
0.4
-1
0.2
-2
0
0
2
4
6
8
10
0
2
4
6
8
10
Discretización de Euler para diferentes períodos de Muestreo y el Control Continuo
Control Digital 08.doc 7
1.3. Aproximación Basada en Variables de Estado
La realimentación del estado puede verse como un controlador proporcional
generalizado.
Proceso
 dx
 = Ax + Bu
 dt
 y = Cx
[1.30]
se suponen medibles todos los estados
Controlador
u ( t ) = Mr ( t ) − Lx ( t )
[1.31]
La versión discreta será
% ( kT ) − Lx
% ( kT )
u ( kT ) = Mr
[1.32]
Se trata de obtener las matrices aproximando las continuas
El estado en lazo cerrado evoluciona
 dx
 = ( A − BL ) x + BMr = Alc x + BMr
 dt
 y = Cx
[1.33]
si la referencia se mantiene constante durante el período de muestreo se puede
integrar en el período resultando
xk +1 = Φ lc xk + Γlc rk
[1.34]
donde
Φlc = e AlcT
T
Γlc = ∫ e Alc s dsB
[1.35]
0
el controlador discreto deberá dar la misma respuesta, o sea
(
)
%
xk +1 = Φ − ΓL% xk + ΓMr
k
[1.36]
donde Φ y Γ son las matrices en lazo abierto
En general no es posible elegir L% tal que
Φlc = Φ − Γ L%
[1.37]
Control Digital 08.doc 8
Se divide
L% = L0 + L1 T
[1.38]
2
Se puede hacer un desarrollo en serie
(
)
2
2
Φlc ≈ I + ( A − BL ) T + A 2 − BLA − ABL + ( BL ) T
2
+L
[1.39]
y
Φ ≈ I + AT + A2 T
(
ΓL% ≈ BT + AB T
2
2
2
2
+L
[1.40]
)(
+ L L0 + L1 T
= BL T + BL T
2)
0
Φ − ΓL% ≈ I + ( A − BL0 ) T + ( A 2 − ABL0 − BL1 ) T
2
1
2
2
2
+ ABL0 T
2
2
+L
+L
[1.41]
[1.42]
igualando término a término
(
L% = L I + ( A − BL ) T
2
)
[1.43]
Para calcular M se supone que en régimen estacionario las ecuaciones [1.34] y
[1.36] deben dar el mismo valor
según el continuo el valor final es
( I − Φlc ) x0 = Γ lc Mr
[1.44]
y en el discreto
( I − ( Φ − ΓL% ) ) x
0
%
= ΓMr
[1.45]
suponiendo
M% = M0 + M1 T
[1.46]
2
Γlc M ≈ BMT + ( A − BL ) BM T
2
2
2
ΓM% ≈ BM 0T + ( BM 1 + ABM 0 ) T
+L
2
[1.47]
+L
[1.48]
esto da
(
M% = I − LB T
2
)M
[1.49]
Ejemplo 1.4. Doble integrador. Aproximación de Realimentación del Estado
Control Digital 08.doc 9
 dx 0 1 
0 
x +  u
 =

1 
 dt 0 0 
 y= 1 0 x
[ ]

[1.50]
sea el controlador continuo
u ( t ) = r ( t ) − [1 1] x ( t )
[1.51]
se utiliza T = 0,5
las matrices discretas resultan
L% = [1 − 0,5T
1]
[1.52]
M% = 1 − 0,5T
[1.53]
1.2
1
0.8
0.6
0.4
0.2
0
-0.2
-0.4
0
5
10
15
1.4. Métodos Basados en Respuesta en Frecuencia
Bode y Nyquist son métodos frecuenciales adecuados para Sistemas expresados
como entrada-salida.
1.1.4. Método de la Transformada w
Pasos
1- Obtener una H ( z ) muestreando el sistema continuo con un BO0.
2- Definir la variable w =
2 z −1
.
T z +1
3- Transformar H ( z ) obteniendo H ′ ( w ) = H ( z ) z =1+ wT 2
1− wT
2
4- Dibujar el Bode y utilizar los métodos convencionales.
Control Digital 08.doc 10
5- Retransformar el controlador al plano z .
Control Digital 08.doc 11