diagramas polares

DIAGRAMAS POLARES
Diagrama Polar de G(jω): Diagrama de la amplitud de G(jω) en función del
ángulo de fase de G(jω) en coordenadas polares al variar ω desde cero a
infinito.
X(s)
G1(s)
Y(s)
Z(s)
G2(s)
Z(s)
= G1 ( jω) G 2 ( jω) = G (s)
X(s)
G ( jω) = G1 ( jω) G 2 ( jω)
G ( jω) = G1 ( jω) G 2 ( jω)
∠G ( jω) = ∠G1 ( jω) + ∠G 2 ( jω)
Im
|G2(jω)|
<G2
|G1(jω)|
|G1(jω)G2(jω)|
<G1
<G1+<G2
Re
DIBUJO DE LOS DIAGRAMAS POLARES
a) Factores integral y derivativo (jω)± 1
G ( jω) =
1
1 1
= − j = ∠ − 90°
jω
ω ω
eje imaginario negativo
G(jω) = jω = ω ∠90°
eje imaginario positivo
Im
Im
a)
ω=∝
b)
ω=0
Real
Real
ω=∝
ω=0
b) Factores de primer orden (1+jωT) ± 1
Im
G ( jω) =
Para
1
1
=
∠ − tan −1 ωT
2
2
1 + jω T
1+ ω T
ω=0
ω = 1/T
ω=∝
ω=0
ω=∝
0.5
Real
G(j0) = 1∠0°
1
G(j/T) =
∠-45°
2
G(j∝) = 0∠-90°
G(j1/T)
2
-1
ω=0
G(j0) = 1∠0°
ω = 1/T
G(j/T) = 2 ∠+45°
ω=∝
G(j∝) = ∝∠90°
c) Factores cuadráticos [1+2ξ(jω/ωn)+(jω/ωn)2] ± 1
ω=∝
Im
G(jω) = 1+jωT = 1 + ω T ∠tan ωT
2
1
G(j1/T)
Para
ω=0
0
1
Real
G ( jω) =
1
[]
=
1
2
⎛
⎜1 − ω
⎜ ω 2
⎝
n
⎞ ⎛
⎟ + ⎜ 2ξ ω
⎟ ⎜⎝ ω n
⎠
⎞
⎟⎟
⎠
2
∠ − tan −1
2ξω / ω n
(1 − ω 2 ω n 2 )
Im
Para
ω=0
ω = ωn
ω=∝
G(j0) = 1∠0°
1
∠-90°
G(j/T) =
2ξ
G(j∝) = 0∠-180°
0.5 ω
ω=∝
ωn
⎞
⎟⎟
⎠
2
lim G ( jω) = 1 ∠0°
ω→0
ω→∞
lim G ( jω) = ∞ ∠180°
ω→∞
ξ >0
ωn ξpeq
ω →∝
Im
ω=0
0
ω→0
Real
ξgde
ωn
El punto del diagrama polar cuya distancia
al origen es máximo corresponde a la
frecuencia de resonancia ωr .
⎛ ω ⎞ ⎛ ω
⎟⎟ + ⎜⎜ j
G ( jω) = 1 + 2ξ⎜⎜ j
ω
⎝ n ⎠ ⎝ ωn
⎛
ω 2 ⎞⎟ ⎛ 2ξω ⎞
⎜
⎟
= 1−
+ j⎜
⎜ ω 2 ⎟ ⎜⎝ ω n ⎟⎠
⎝
n ⎠
= 01
1
Real
FORMAS GENERALES DE LOS DIAGRAMAS POLARES
G ( jω) =
K (1 + jωT1 ) (1 + jωT2 )..........(1 + jωTp )
( jω) n (1 + jωTa ) (1 + jωTb )..........(1 + jωTq )
Grado del denominador > grado del numerador (q > p)
n = 0 Sistema tipo cero
G ( jω) =
G ( jω) =
K (1 + jωT1 ) (1 + jωT2 )..........(1 + jωTp )
(1 + jωTa ) (1 + jωTb )..........(1 + jωTq )
K 1 + ω 2 T12 1 + ω 2 T2 2 .....
1 + ω 2 Ta 2 1 + ω 2 Tb 2 .....
∠G ( jω) = tan −1 ωT1 + tan −1 ωT2 + .... − tan −1 ωTa − tan −1 ωTb − ....
Para
ω=0
ω=∝
G(j0) = K∠0°
G(j∝) = 0∠
El diagrama siempre empieza en el eje real positivo (en el valor de K, que
es también el coeficiente estático de error de posición Kp).
n = 1 Sistema tipo 1
K (1 + jωT1 ) (1 + jωT2 )..........(1 + jωTp )
G ( jω) =
jω ⋅ (1 + jωTa ) (1 + jωTb )..........(1 + jωTq )
G ( jω) =
K 1 + ω 2 T12 1 + ω 2 T2 2 .....
ω 1 + ω 2 Ta 2 1 + ω 2 Tb 2 .....
∠G ( jω) = tan −1 ωT1 + tan −1 ωT2 + .... − 90° − tan −1 ωTa − tan −1 ωTb − ....
ω=0
ω=∝
Para
G(j0) = ∝∠-90°
G(j∝) = 0∠
n = 2 Sistema tipo 2
G ( jω) =
K (1 + jωT1 ) (1 + jωT2 )..........(1 + jωTp )
( jω) 2 (1 + jωTa ) (1 + jωTb )..........(1 + jωTq )
G ( jω) =
K 1 + ω 2 T12 1 + ω 2 T2 2 .....
ω 2 1 + ω 2 Ta 2 1 + ω 2 Tb 2 .....
∠G ( jω) = tan −1 ωT1 + tan −1 ωT2 + .... − 180° − tan −1 ωTa − tan −1 ωTb − ....
Para
ω=0
ω=∝
G(j0) = ∝∠-180°
G(j∝) = 0∠