Transformada de Mellin y de Fourier

Actividad 3, pág. 1 de 1
Transformada de Mellin y de Fourier
Objetivos:
Kernel de Mellin
Que el alumno utilice software matemático para obtener transformadas integrales
directas e inversas.
f : IR → IR es Mellin transformable si
R∞
tk−1 |f (t)|dt converge para algún k
0
Reportes entregables:
real y la integral
M {f (t)} =
Z∞
Fecha de entrega: Domingo 06 de septiembre de 2015.
ts−1 f (t)dt
1. Apoyándose en el software, calcule la transformada Mellin M {u(t − a)tb }
para la funciones
0
es la transformada Mellin de f (t), en donde s es un número complejo. Además,
la transformada Mellin inversa se obtiene resolviendo la integral
σ+i∞
Z
2. Apoyándose en el software, calcule F (ω) = F {f (t)} o f (t) = F −1 {F (s)},
según se solicite, obteniendo en todos los casos el gráfico del dominio de
frecuencia y del dominio espacial.
t−s M {f (t)}ds
f (t) =
a) f (t) = e−at (1 − e−t )−1 , Re(a) > 0. b) (et − 1)2 c) f (t) = e−pt , p > 0
2
d) f (t) = e−t e) f (t) = (1 + t)−a , a > 0
σ−i∞
2
a) f (t) = e−at , a > 0. b) f (t) =
Kernel de Fourier
Finalmente, la transformada de Fourier F {f (t)} es el mapeo dado por la
integral
F {f (t)} =
Z∞
Z∞

e−iωt f (t)dt
F −1 {F (ω)} = 1
2π

eiωt F (ω)dω 
1−
|x|
a
u 1−
|x|
a
, en donde u(·) es
función escalón unitario. c) f (t) = u (a − |x|) d) f (t) = e−a|x| , a > 0.
e) f (t) = e−at u(t) − eat u(−t), a > 0 f) F (ω) = 21 [δ(4 + ω) − δ(4 − ω)]
3 + iω
15
h) F (ω) = δ(ω − 10) i) F (ω) =
g) F (ω) =
25 + (3 + iω)2
5 + ω2
1
j) F (ω) =
(2 + iω)2
∞
−∞
y es un isomorfismo entre el espacio original y el dominio de la imagen si
R∞
|f (t)|dt es convergente, en cuyo caso se dice que la función original f (t) es
−∞
Fourier transformable si F {f (t)} existe.
Usando la fórmula de Euler (eiθ = cos(θ) + i sin(θ)), la transformada de Fourier
de una hoja (IR+ ) satisface
F {f (t)}
=
R∞
0
e−iωt f (t)dt =
R∞
f (t) cos(ωt)dt − i
0
= Fc {f (t)} − iFs {f (t)}
R∞
f (t) sin(ωt)dt
0
Transf. Coseno - Transf. Seno
I7021 – Seminario de Solución de Problemas de Métodos Matemáticos III
Software libre en análisis aplicado
Ing. en Comunicaciones y Electrónica / Ing. en Computación / Ing. Biomédica
Rubén Sánchez G., Depto. de Fı́sica
Depto. de Electrónica, DIVEC, CUCEI, UdeG.
Laura E. Cortés N., Depto. de Matemáticas