Transformada fraccional de Fourier de funciones transcendentales

Transformada fraccional de Fourier de funciones
transcendentales aplicada al procesamiento de
señales
1
Carlos Jimenez1 , Jaime Castillo1 y Susana Salinas2
Universidad de la Guajira. Centro de investigaciones y 2 Universidad del Zulia.
Email: carlosj114 gmail.com
29 de abril de 2011
Resumen
En la presente investigación utilizando la transformación de Fourier de
orden fraccional de funciónes transcendentales se encontraron aplicaciones
al procesamiento de señales y se simularon utilizando el software Matlab
R2009.
Palabras Claves: Transformación de Fourier de orden fraccional, Funciones Transcendentales.
1.
Introduccion
La transformación de Fourier de orden fraccional (FRFT) se interpreta como
una generalización de la transformación convencional de Fourier y fue utilizada
originalmente en relación a la Teorı́a de Grupos y la Mecánica Cuántica. En
1993, Mendlovic, Ozaktas, Lohmann y Pellat Finnet la introducen en la óptica
y procesamiento de señales [1-3]. Una definición esta basada en los modos de
Hermite/Gauss y puede ser implementada en un medio de gradiente de ı́ndice
(GRIN). El otro esta basado en la rotación de la función de distribución de
Wigner de la señal de entrada por cierto ángulo. Por consiguiente existen múltiples trabajos donde sus propiedades, implementaciones ópticas y aplicaciones al
procesamiento de señales han sido realizados extensivamente.
2.
Definición de la transformada fraccional de
Fourier.
La transformada fraccional de Fourier de orden α es :
1
1 e(i/2)α
F {f (x);u} = √ √
2π isenα
α
3.
Z∞
f (x)e
i(x2 +u2 ) cot α −iux
2
e senα dx,
(1)
−∞
Propiedades de la transformada fraccional de
Fourier.
Propiedad de linealidad.
F α [c1 u1 (x) + c2 u2 (x)] = c1 {F α [u1 (x)]} + c2 {F α [u2 (x)]} .
Regla de la División
2
i
− ix2
α
F (f /x) =
e
senα
Z∞ 2
cot α
i x2 cot α
e
F α [f (x)] dx.
(2)
(3)
−∞
Regla de la multiplicación
d
1
F α (g f ) = f x cos α + senα
F α (g) .
i
dx
4.
(4)
Resultados y Simulación
i) Transformación de Fourier de orden fraccional de f (x) = xeikx
α
F {xe
ikx
1 e(i/2)α
;u} = √ √
2π isenα
Z∞
xeikx e
i(x2 +u2 ) cot α −iux
2
e senα dx,
(5)
−∞
de [4, p. 121] se obtiene,
iα
α
ikx
F {xe
iu2 cot α
1
e2
;u} = √ √
e 2
2π isenα
Z∞
xe
ix2 cot α
iux
+ikx− senα
2
dx.
(6)
−∞
finalmente obtenemos
F α {xeikx ;u} = e[−
i
iα
2 +2
tan α(k2 +x2 )+ikx sec α.(x+ksenα)]
.
(7)
ii) Transformada fraccional de Fourier de f (t)eiwo t .
exp i π4 − α2
i
iwo t
Fα f (x); e
= √
exp − cot α x2 ×
2
2πsenα
Z∞
0
−i
ixx´
2
exp
cot αx +
exp (iwo x´) f (x0 )dx0 .
2
senα
−∞
2
(8)
De [4, p. 121] tenemos
exp i π4 − α2
−i
iwo t
2
Fα f (x); e
= √
exp
cot αx ×
2
2πsenα
Z∞
−i
´2
´
ixx´
e 2 cot αx + sen α +iwo x f (x0 )dx0 .
(9)
−∞
Finalmente
tenemos
1
Fα f (x).eiwo t = ei cos wo (x+ 2 wo sen α) Fα {f (x)}(x+sen αwo ) .
Figura 1: FrFT de una señal Gaussiana de orden 0.5
Los resultados obtenidos de la transformada fraccional de Fourier de una
señal Gaussiana multiplicada por una señal transcendental es una señal Gaussiana.
5.
Conclusión
En este trabajo se resolvió la transformada fraccional de Fourier de funciones
transcendentales, tomando una señal Gaussiana y se encontró que la transformada fraccional de Fourier de una señal Gaussiana es otra señal Gaussiana en
cualquier dominio de frecuencia.
6.
Referencias
[1] V. Namias, J. Inst. Math. Appl. 25 (1980) 241.
[2] H. Kogelnik and T. Li, Proceedings of IEEE. 172. (1966).
[3] H. M. Ozaktas, Zeev Zalevsky and M. Alper Kutay. The fractional Fourier
Transform with Applications in optics and signal processing. John Wiley & Sons
LTD., New York, 2001.
[4] I. S. Gradshteyn and I. M. Ryzhik. Table of Integrals, Series and Products.
New York, 1965.
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