Fundamentos de Espectroscopia: Un ejemplo de series de

Fundamentos de Espectroscopia:
Un ejemplo de series de Fourier
Prof. Jesús Hernández Trujillo Facultad de Quı́mica, UNAM
Realiza la expansión de la función f (t) = t en series de Fourier,
t=
∞
∞
X
a0 X
+
an cos ωn t +
bn sen ωn t ,
2
n=1
n=1
en el intervalo t ∈ [−π, π].
En este caso t0 = −π y T0 = 2π. Por lo tanto ω0 = 2π/T0 = 1 y ωn = n ω0 = n. Con
estos valores, se obtiene:
a0 =
an =
bn =
2 π
tdt = 0
T0 −π
Z π
2
t cos(nt)dt = 0, n ≥ 1
T0 −π
Z
2 π
2(−1)n
,n≥1
t sen(nt)dt = −
T0 −π
n
Z
Estos valores se sustituyen en la definición de la serie:
f (t) = t = −
∞
X
2(−1)n
n
n=1
sen(nt)
En la práctica, sólo se considera un número finito de términos, m, en la suma:
f (t) = t ≈ −
m
X
2(−1)n
n
n=1
sen(nt) = 2 sen t − sen 2t +
2
1
sen 3t − sen 4t + . . .
3
2
En las siguiente figura, además de la función f (t), se ilustran algunos casos con
diferentes valores de m para la expansión de la función en series de Fourier.
m=1
m=2
m=5
4
2
2
0
0
−2
−2
−4
−4
−4
−2
0
m=7
m=9
m=20
4
2
4
1
−4
−2
0
2
4
Nota que cuando se incluyen más términos en la suma mejora la descripción de la
función. En el caso de una serie de Fourier, la descripción más pobre se observa en los
extremos del intervalo, en este caso, en t = ±π.
Además, el espectro es
|bn|
2
1.5
1
0.5
0
n
0
1
2
3
4
5
6
Ejemplo 2. Realiza la expansión de Fourier de la onda cuadrada
f (t) =
(
1 :
−1 :
t ∈ (0, π]
t ∈ (π, 2π]
Traza además la figura de expansión cuando se incluyen los tres primeros armónicos.
En la siguiente figura, se muestran algunos casos adicionales (observa el fenómeno de
Gibbs).
f(t)
m=1
m=3
m=5
m=21
1
0.5
t
0
0
1
2
3
4
5
6
−0.5
−1
También grafica el espectro de frecuencias.
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