Hoja 3

Departamento de Matemática Aplicada.
ECUACIONES EN DERIVADAS PARCIALES I, Curso 08–09
Series de Fourier. Hoja 3
27 i) Encontrar los desarrollos de Fourier de las (extensiones 2π–periodicas de las) siguientes funciones en (−π, π):
a) f (x) = x, si x ∈ (0, π), f par, b) f (x) = x, si x ∈ (0, π), f impar, c) f (x) = x, si x ∈ (−π, π),
d) f (x) = x2 , si x ∈ (−π, π), e) f (x) = esx , si x ∈ (−π, π), f) f (x) = cos(x), si x ∈ (0, π), f par
ó impar.
ii) Analizar la convergencia puntual, uniforme y L2 (−π, π) de las series anteriores.
iii) En cada caso, escribir la igualdad de Bessel.
iv) Evaluar las series en los siguientes puntos: a) x = 0, b) x = π/2
v) Evaluando la serie de Fourier de (a) en x = 0, deducir que se tiene:
1
1
1
1
π2
= 2 + 2 + 2 + 2 + ...
8
1
3
5
7
Deducir de esta última serie que
π2
1
1
1
1
= 2 + 2 + 2 + 2 + ...
6
1
2
3
4
28 i) Probar que en la serie de Fourier de una función par no aparecen los senos y que en la serie de
Fourier de una función impar tan sólo aparecen los senos.
ii) Dada una función f definida en [0, π], calcular la serie de Fourier de la extensión par e impar de f .
iii) Si por ejemplo la función f de ii) es C 1 (0, π) y de soporte compacto, las dos series de Fourier de ii)
convergen uniformemente a f en [0, π]. ¿Contradice esto la unicidad de la serie de Fourier? Explicar.
29 Usando la identidad de Euler, e±inx = cos(nx) ± sen(nx), probar que la serie de Fourier de una
función f se puede expresar como
∞
!
cn einx
n=−∞
donde
1
cn =
2π
30 Probar que
I2n =
"
π
f (x)einx dx,
−π
n = 0, ±1, ±2, . . .
π
1 · 3 · 5 · · · (2n − 1)
u
cos2n ( )du = 2π
2
2 · 4 · 6 · · · (2n)
−π
"
Indicación: Para ello, probar mediante integración por partes que I2n = (2n − 1)I2n−2 − (2n − 1)I2n .
31 Probar que la serie de Fourier de la función
f (x) =
#
(1 − s)x,
(1 − x)s,
x≤s
s<x
definida en 0 ≤ x ≤ 1 (donde s ∈ [0, 1] se considera un parámetro) viene dada por
∞
2 !
sen(nπs) sen(nπx)
2
π n=1
n2
¿Converge la serie a la función f ? ¿Es la convergencia uniforme? Escribir la fórmula de Parseval y
particularizar para s = 1/4 y s = 1/2.
6
32 Consideremos an , bn , cn y dn los coeficientes de Fourier de las funciones f y g respectivamente.
Escribir la identidad de Parseval para la función f + g y deducir que se tiene
2a0 c0 +
∞
!
(an cn + bn dn ) =
n=1
1
π
"
π
f (x)g(x)dx
−π
33 Probar que la función
f (x) =
#
0,
1
| ln(|x|)|p ,
x≤0
x>0
no verifica la condición de Dini en x = 0 para todo 0 < p ≤ 1.
34 Probar que si f ∈ C ∞ (IR) y es 2π−periódica entonces, los coeficientes de Fourier de f verifican
la siguiente propiedad de sumabilidad:
∞
!
(|an | + |bn |)nk = Ck < ∞,
para todo k = 0, 1, 2, . . .
n=1
Probar en particular que, para todo k = 0, 1, . . ., la serie de Fourier de las derivadas de orden k
converge uniformente a f (k).
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